Any statement that have proof have zero knowledge proof
あらゆる言語による論理は記号に置き換えることができる。あるstatement(宣言)がyes or noで判断できる記号形式を取る時、それをproposition(命題)と呼ぶ。propositionがtrueであることを証明する一連の工程をproofと呼ぶ。true or falseであるかをverify（判定）するシステムをproof systemと呼ぶ。propositionは人間が書く以上、自然言語では往々にして余計な情報を含んでいる。証明に必要な情報量のことをproof complexityと呼ぶが、余計な情報を排除して最も小さい情報量に還元したものを一般にlower bound on proof length, minimum description lengthやKolmogorov最小長と呼ぶ。proofを検証する時、interactive turing machineによる対話は計量できる。その時に必要な情報量をknowledge complexityと呼ぶ。そしてどのような命題だったとしてもその宣言がtrueであることを検証する際に必要となるknowledge complexityはゼロである(zero knowledge proof)。
zkpの原典論文によると、yesかnoかで判定できる命題は例え証明がどれだけ複雑であろうと、証明がtrueであること、つまり選択されたaxiomのmembershipであることを、証明が真であること以外の情報を全く付与することなく、確率的に100-ε%でverificationできるとする。そしてその証明条件はArthur-Merlinによるrandomness interactive proof systemである。そうすると、statement is trueとは何を意味するかというと、ZFC with axiom of choiceのchoiceとstatementに矛盾がないかどうかのtautologyをチェックしているだけであり、proofとは、statementの宣言の公理集合内における整合性を公理の内側の語彙で再構成するだけである。それがどれだけ計算困難であったとしても、tautologyである以上、反復を繰り返せばSAT solverによって実現することができる。undecidablityとintractabilityには決定的な壁がある。命題とは、与えられた公理の内部では証明できない外部randomnessがある宣言、そしてその裏返しで内部項が制限されているという排他条件つまり、壁であることになる。命題とは真のrandomnessからpseudo-randomnessを切り取ったとする選択宣言である。命題がyesであるということは壁が適切に組み立てられており、命題がnoである場合は壁が定義できていない。命題がyesの場合、ランダムネスは命題のはるか外側にあるのか、それとも少し外側なのかは公理の内部では判断できない。
より矛盾のない広域公理から局所公理までを接続した主体の命題が上位集合trueになる。ただし演算効率の壁があるため、どこまで広域に広げるかには内部演算効率の下界という内部条件が必要である。これはbounded rationalityに基づくsatisficingと呼ばれる。
NPcompleteの命題が正しい場合、CDCLは必ず蛇行する。つまり、命題が安定することと証明が線形であることは相反する。
ゼロ知識証明では証明者がコストを負担し、検証者はゼロコストである。しかし現実世界では証明者は3SATソルバーで強引に解を出す。一方、検証機が立つ土台（公理）について、検証機あるいはArthur Merlin protocolがよって立つ公理と命題が、真のランダムネスに準拠しているかどうか（本当にゼロなのかどうか）は、ゼロ知識証明自身では証明できない。
本当にゼロなのであれば理論上IP=PSPACE, MIP=NEXP,MIP＊=REまで検証可能だが都合の良い0資源はノードには存在しないのでほとんど全ての検証機は何らかのバイアスを内包していると言える。
• 証明（Proof）とは： 証明者（Prover）が、NPにおけるCDCLの蛇行というコストを支払って構築した整合性の離散的な壁である。
• 真理（True）とは： 命題が真である判定。公理採択条件と内部項が一致していること。
• 不条理（現実）とは：自身の演算効率の下界（Satisficing）に基づいて、広域公理と接続できた局所的な判定である。 その安定を保証する検証機（Arthur）のコインが本物であるかどうかは、誰にも証明できない（Undecidable）。
現実世界ではverifierを装う検証ノードは限定資源であるため、この限定資源ノードが全知全能のフィールドを装うためのコストはブロックチェーンのPoWや上場監査、ガバナンスのように膨大であるが、自然はフィールドであるのでだれも地球が存在することに関するコストは支払いしない（ゼロ）といえる。証明（3SAT）は人間（主体）が蛇行しながらコストを支払って作るが、検証（真のランダムネス）は、地球というコストゼロのフィールドにそのまま委ねるのが最も美しい。つまり氏神や神社は効率的な検証システムといえる。
The knowledge complexity of interactive proof-systems
https://dl.acm.org/doi/epdf/10.1145/22145.22178
The knowledge complexity of interactive proof-systems
Proofs that Yield Nothing But Their Validity All Languages in NP Have Zero-Knowledge Proof Systems