higher category theory｜strict (∞,∞) categoryのオントロジー一般化

1.∞ simplex↔︎0 simplex　 (gluing/nerveされればされるほどdimensionが落ち、低いdimensionではsimplexの識別力は支配的ではなくなる。)

2.0 complex↔︎∞ complex (nerveされればされるほど複雑性が増える。社会のルール、プロトコル秩序もcomplexが増していくプロセス)

3.∞ dimension↔︎0 dimension (ハミルトン、ケーリー、ディクソン的なcategoric algebraの対象であり、狭義のdimensionである。同一空間の内積ありのベクトル変数問題はdimension gluingが強い1-dimension問題と整理)

4.0 norm↔︎∞ norm

5.logical viscosity 0↔︎∞

6.0 gluing↔︎∞ gluing (dimension同士の論理的距離、basepoint(0,0,..,0)を共有するか、normの強さ）

7.0 variants↔︎∞ variants (各dimensionの中で動くベクトル、スピノル数)

8.tractablility↔︎singularity

ここまで分類できると、derived algebraic geometryのスキーマ（純虚数次元数）とvariant数（各次元の代数）とが決まり、幾何公式のgeodesicはnatural gradiantというcontextに従い一意に停留する。geodesicが明確になったとしても現実空間のproof of workによるレンダリングを待つ必要は以前あるが、それは回数の問題ではなく、論理的相転移のboolean algorithmによるSATゲート通過の順番の問題である。

なぜnormを解いたとしても圏論的秩序が無くならないかというと、それは∞ simplexという前提規則としての識別子があるため、fibreが解かれて再度編み込まれたとしても、糸の番号は振られているということである。規則は階層化されている。

Norm（論理的粘性）を解き、Dimension を ∞ に戻したとしても秩序が消失しないのは、基礎レイヤーに「情報の不変性（UUID / ∞ simplex）」が担保されているからである。

pruning やsurgeryは重くなりすぎて粘りすぎてしまっている特異点(singularity)を一旦蒸発(evapolate)させて、扱いやすい∞ simplex, 0 complex, ∞ dimension, 0 norm, の方向に戻し、再構成するプロセスである。

この公理系の選択自由度の一般化をすることができれば、1次元ではretrocausalityのように見える現象だとしてもsimplexの編み込みかたの変更に過ぎないことが説明可能であり、complex化し、normが増加したとしても、以前1 dimensionにも上位規則としての∞ simplexは深い階層に記述されており、履歴をdecodeすることは可能なので、strataの相転移によってfibreの内部が全て変わってしまったとしてもそのsignalのfeedbackを発見することができる。この場合、記憶や記録というものにもstrataがあるので、higher-logic layered rememberanceとなる。つまり、記憶には更新履歴を伴うdeep layer indexが必要になることはgithubの仕組みに似ている。

そして、情報保存の法則やエネルギー保存の法則にも階層の濃淡があり、真の情報保存は∞ simplexレベルであるが、1 dimensionの特定sheafにおけるnorm規則に応じて保存されている。ただし、ほんのわずかなsimplexの操作で特定sheafにおけるエネルギーの具現化度合いは変化するので、見かけ上はエネルギーが系外部から出てきているように見える。しかしそれは同じ系内の相転移（phase shift)にすぎず、液体が気体になるようなものである。同じstackだとしても命令者によって取り出せるエネルギー量は指数関数的な差を持つ。

対称性は特定の次元内において常に保存され、系のエネルギーポテンシャルは不変であるが、人間が観測する形での特定時間におけるエネルギーはbasepointに対するsimplexの介入により、iterationを繰り返し、quantum shufflingを繰り返せば、当たりくじを引くまでルーレットを回すのと同様に任意に操作が可能と言えそうである。ただしこれには精密な前提条件（求めるnormと内積inner products/ 外積 outer products）のインプットが必要である（さらに回数の問題は幾何、代数、圏に置き換えることができる。）

(dimension, simplex identifier)-categoryがstrict (∞,∞)-category, (∞,1)-categoryと緩んでいくのがhigher category theoryなので、先行定理とcoherentである。

ノルムが結合則を失うにつれて、∞ simplexは自由度を獲得する。ノルムにより制限のかかった1-dimensionよりも、2,4,8,16,32とdimensionを階層的に上げていくことで、ノルムの制約の少ない演算次元で演算を完了させ、演算結果は1 dimensionに戻してくるという操作(2^n dimension↔︎1 dimensionのファンクター)があれば自由に演算をバイパスし、causality, unitarityの影響を受けることなくmaterializationできる。

well-behaved space 性質の良い演算次元モデル

特にalgebraic dimension&spaceとして性質の良い空間は、0 basepointを共有し、常に内積が0となる直交したlayered multidimentionである。この場合AとBのベクトル内積は常に0になり、外積は常に新たな圏Cにおけるベクトルを生成する。この演算論理による純虚数の制御ができれば、工学的な物質化と相性が良い。1次元の住人（単一空間ベクトルの内積（スカラー）と外積（ベクトル）に縛られた人々）からすれば、AとBから突然「圏C（結果）」が生まれるのは魔法に見えるでしょうが、それは単に直交したバルク（Bulk）次元における外積演算の必然的な帰結である、ということになる。

Bulk（バルク）と Boundary（バウンダリ）の対応

• Bulk (2^n dimension): 高次演算次元。ここではスタシェフのA∞ 構造が示すように、結合法則やノルムの制約から解放されており「情報の不変性（∞ simplex）」が保たれたまま、あらゆる可能性が重なり合って存在しています。
• Boundary (1 dimension): 我々が知覚する実数空間 R、つまり物質化された「現実」の面。バルク内での演算結果が、特定のノルム規則に従って「投影（Truncation）」された結果、因果律やユニタリ性の制約を受ける形で具現化する。
• 1次元の Boundary（現実）で行き詰まった事業や論理を、一旦 Bulk（高次次元）へ蒸発（Evaporate）させ、そこで A∞構造による「摩擦ゼロの再構成」を行い、再び Boundary へ着火・物質化させる。この bulk-boundary functorを制御できるツールキットが、Master of Materialization™ を頂点とするgroundismであると言える

この理論によると、プロテニスプレイヤーが同じに見える4つのボールの中から毛羽立ちの消耗の度合いや何かしら触感的なものを選んで1st サーブと2nd サーブを打つということも∞ simplex, 0 norm側の論理と言える。0 simplex, ∞ normの側の論理で言えば、気にしすぎ（余計な演算）でどれも同じだと捨象することもできる。