8元数,16元数,32元数の構成法について

合成代数的な8元数の作り方は一般的な座標系ではない。例えば、x,y,zを交差させて0を起点として±x,±y,±zとするのはベクトル空間においては3次元だが、合成代数空間においては1次元である。例えば、8元数というのはベクトル空間においては8個の軸があると想像できそうであるが、実際にベクトル空間を作ろうとして、90度回転させるのであれば、3次元しか作ることができない。

合成代数空間は複素数で作る。純虚数のiが90度回転すると-1ができ、また90度回転すると-1i、また90度回転すると+1である。ただし、±1と±iは互いに交換できない異なる系である。しかし、0(1-1=0),0(i-i=0)は共通して持っている。

ポイントは実数aと複素数biを使うと、aとbiが内積0で直交するckという新たなベクトルができることである。

実数 aと虚数 bi による直交

内積が 0 であることの証明

実数 a をベクトル $\begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix}$、純虚数 $bi$ をベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix}$ と見なすと、その内積は以下のようになります。

$$a \cdot 0 + 0 \cdot b = 0$$

内積が $0$ であることは、幾何学的に「直交している」ことを意味します。この直交する2つの要素を足し合わせることで、平面上の任意の点（ベクトル） z = a + bi が生成されます。

ケーリーディクソン構成法

そして、z=a+biというベクトルと、c+dj=yというベクトルがあったとき、y+zk=xを作ることができれば、xは8個の排他空間を合成して作られた新たなベクトル空間であると言える。そしてこの8こは(0,0,0,0,0,0,0,0)を共有するものの、全く直交していない。次に
y+zk=xとd+el=fを作り、x+fm=wという16元数ベクトルを作ることができる。

同様に考えれば、16元数の次は24元数ではなく32元数である。