現代的algebraの根本的な特殊ルールと一般化の効用

数学で代数というとき、そこには２つの意味がある。本来のalgebraは、ハミルトンが定義したようにBasepoint（原点）を共有する「排他空間」の集合である。i²=-1となり、ijk=-1となるような定義を持つ空間である。これをケーリーディクソン構成により2ⁿ次元に拡張したとする。どの2ⁿ次元についても2ⁿ-1個のabc=-1となるペアが存在する。

しかし、現代の地球上で複素解析、複素数と言われるとき、奇妙な平面化が行われる。

i²=-1が演算のルールである。iは実数軸と直交する空間である。実数をr、虚数をiとした場合に直交する排他空間r*iの内積によって形成される新たなx軸におけるベクトルの長さはr*iである。

つまり(a+bi)²=(a)²+(bi)²なのである。

しかし、数学の教科書も、ほとんどの複素解析の証明ですら、(a+bi)²=(a)²+(bi)²+2abiというおまけがついてきてしまう。2abiは新たなx軸におけるベクトルの長さであるのか？そうであれば、x*x=-1になるはずなので、(2abi)²=-1になる必要があるが、このような解は矛盾となってしまう。

つまり、汎用的に使われている複素解析はiという虚数の性質を捻じ曲げて無理やり同一平面上に実数と虚数という直交する数字を並べてしまっているのだ。こうなってしまうと、同一平面上に並べることのできないというルールを消しているので、iという識別子のついた2つの内積がプラスのベクトルの影を計算していることになってしまう。

もし仮に(a+bi)²=(a)²+(bi)²という演算ルールを保持できるのであれば、どんな2ⁿ次元についても実数空間との接続が2ⁿ-1個存在することとなり、大きな次元数だとしてもcomputableであるという結果が得られる。

現代の複素解析は、i という識別子を与えただけの『2成分の平面ベクトル演算』へと退化している。真の代数は、basepointを共有しながらも次元間の排他性を維持し、すべての演算が 2ⁿ-1 の回路を通じて Basepoint（実数）へと収束する、可逆演算体系である。この演算体系にはchiralityとしてij=k, ji=-kが内包されている。

4元数の場合、ij=k, jk=i, ki=j, ijk=-1, i²=-1, j²=-1, k²=-1, ji=-k, kj=-i, ik=-jとなる。(ik)^2 = -1はik*ik=(-j)²=+1とはならない。ここで結合法則があるので、ikik = i(ki)k=ijk=-1となるのである。