∞-Groupoid｜無限次亜群インフィニティ・グルーポイド

∞-Groupoid（無限次亜群 / インフィニティ・グルーポイド）は、現代数学において「空間」と「代数的な構造」を同一視するための最も重要な概念の一つです。

「対象（点）」と「その間の道（パス）」、さらに「道と道の間の変形（ホモトピー）」が無限の階層まで続く構造をパッケージしたObjectです。無限の階層構造をひとまとめにして「1つの数学的対象（Object）」としてパッケージ化したものがGroupoidです。

1. 誰が提唱したのか？

アレクサンドル・グロタンディーク (Alexandre Grothendieck): 1983年の膨大な手稿『Pursuing Stacks（スタックの追求）』の中で、位相空間の本質を代数的に捉えるための対象として「∞-Groupoid」を予見しました。
ダニエル・キレン (Daniel Quillen): ホモトピー論を公理化した「モデル圏」の創始者であり、この概念の先駆けとなる構造を整備しました。
ジェイコブ・ルーリーやアンドレ・ジョイアル: 21世紀に入り、これらを「∞-category (∞-圏)」のベースケースとして厳密に定式化しました。

群 (Group) と亜群 (Groupoid): 1つの点に対して、元（操作）が逆元を持つ構造。
- 亜群: 複数の点（対象）があり、その間の矢印（射）がすべて「逆」を持つ構造。
基本群 (Fundamental Group): 空間内のループを考えるトポロジーの概念。これを高次元に拡張した「基本n次亜群」、Jacob Lurieはn次亜群の究極系である∞-Groupoidをむしろ基本形として、すべてが∞をハブとしてつながっていると定義しました。
カリー＝ハワード同型対応: HoTTの文脈では、「型」を「∞-Groupoid」とみなすことで、論理学と幾何学が結びつきました。

「点と点が等しい」という状態を、単なる真偽値（Yes/No）ではなく、「等しさの質（どのように等しいか）」として記述するためです。

ホモトピー仮説の実現: グロタンディークは「位相空間のホモトピー型」と「∞-Groupoid」は本質的に同じものであると主張しました。これを数学的に厳密に扱うための道具が必要でした。
「等しさ」の階層化: 数学において、2つの対象が等しいとき、その「等しさを証明する道」自体がまた別の「道」とどう関係しているか（高次の等しさ）を無限に追跡するためです。

∞-Groupoidは、以下の階層的な射（∞-category）の集まりとして定義されます。

∞-Topos（高次トポス）は、∞-Category（高次圏）の一種であり、かつその特別なクラスです。

このすべての階層において、「すべての射が逆を持つ（弱逆的である）」という性質が重要です。これが「∞-category（Morphism（射）」と「∞-Groupoid」を分ける決定的な公理です。

∞-Toposは、あらゆる（小さな）∞-Groupoidを「対象（点）」として含み、かつ ∞-Categoryという「関係性」を内包しています。

HoTTにおいて、∞-Groupoidは「Identity Type」です。