Cryptographic Computation

randomnessというリソースを用いることにより、4→3→2→1と還元し、2³のゴレイ符号エラーチェックをしながら物質宇宙というチューリングマシンの出力を1にする一連の記号とシーケンスによる汎用的なproposition、proof verification, proof constructionおよびdistributed computationの論理手法の記述。

Ⅰ. four colorable

システム内部の結合度（コヒーレンス）をゼロにし、リスクの伝播を防ぐための四色定理に基づく横並びの独立コンテナ。

four colorable = C1, C2, C3, C4

C1~C4には建設、製造、小売、銀行の四種類、神武天皇と３種の神器、天皇制と三権分立、三つ巴と漁夫の利など様々な要素を代入することができる。ポイントは平面システムは４色で完全に塗り分けられるということである。勝利の方程式も４色で完全に表現できる。また、5色以上は冗長になるので無駄として切り落とすことができる。このC1=C4は互いに直交しており、影響を与えあわないものでないといけない。色のスペクトルが互いに交わらないのと同様の原理である。

four colorable→NP

four colorableはNPクラスに還元される。また、NP-completeとは4色塗り分けグラフ問題の1482個（633個）の不可避集合（Unavoidable set）の全てを持つ問題である。

① 1482個の不可避集合（1977年）

• 論文名：Every Planar Map is Four Colorable. Part I: Discharging / Part II: Reducibility
• 著者：Kenneth Appel, Wolfgang Haken
• 出処：Illinois Journal of Mathematics, Vol. 21, Issue 3, pp. 429–567 (1977)
• 概要：1482個の「不可避集合」を定義し、当時のスーパーコンピュータを約1,200時間駆動させて史上初の総当たり証明を完了した。

② 633個への最適化（1997年）

• 論文名：The Four-Colour Theorem
• 著者：Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Paul Seymour, Robin Thomas
• 出処：Journal of Combinatorial Theory, Series B, Vol. 70, Issue 1, pp. 2–44 (1997)
• 概要：放電法を根本から書き換え、不可避集合のハコを「633個」へと劇的に削減。人間の手計算バグの可能性を排除し、検証プログラムの計算量を激減させたアルゴリズムの最適化。

③ Coqによる証明（2008年）

• 論文名：Formal Proof—The Four-Colour Theorem
• 著者：Georges Gonthier
• 出処：Notices of the AMS, Vol. 55, No. 11, pp. 1382–1393 (2008)
• 概要：定理証明支援ソフト「Coq」を用いて、100%機械的に正しいコードとして四色定理を再証明。

Ⅱ. NP 3SAT

四色定理のグラフ問題の最も難しい問題NP-complete(1482/633)は必ず3-coloringにできる。

① 3色彩色問題のNP完全性証明（1972年）

• 論文名：Reducibility among Combinatorial Problems
• 著者：Richard M. Karp
• 出処：Complexity of Computer Computations, pp. 85–103 (1972)
• 概要：クックの定理を拡張し、世界を震撼させた「カープの21のNP完全問題」を提示した論文。この中で、グラフ3彩色問題（3-Coloring）が NP-completeのクラスに属することが最小の数として証明されました。

② 平面グラフにおける3色問題の臨界条件（1976年）

• 論文名：The Planar 3-Coloring Problem is NP-Complete
• 著者：Michael R. Garey, David S. Johnson, Larry Stockmeyer
• 出処：SIAM Journal on Computing, Vol. 5, No. 3, pp. 377–384 (1976)
• 概要：線が交差しない「平面グラフ（2次元の地図）」にネットワークを制限し、さらに「最大次数（接続数）が4」という極小の過酷な環境に追い詰めてもなお、3色での塗り分け判定は NPcompleteのまま（Worst-case）であることを証明した。

NP=3SATがこの後証明されており、NP complete, NP intermediateともに3 colorableであることが証明されている。これを2色のgeodesicに置き換えるのがzero knowledge proof.

zero knowledge proofの3条件

completeness, soundness, zero-knowledgeの三つの条件を満たしたzkpはあらゆるNPで成立する。また、以下の対話型プロトコルはNPよりもより難しいクラスでも検証が成立。

IP=PSPACE

MIP=NEXP

MIP*=RE

Randomeness⊃pseudo-randomness⊃RE

「Pseudo-randomness（擬似乱数性）」を究極の検証・実行リソースとする。

真の乱数（True Randomness）は、観測不可能なカオス（物理世界の完全なノイズ）であり、制御も再現もできないため、システムに組み込むと熱死を招きます。

しかし、決定論的な数式から生成されながらも、外部の検証者からは「完全な無秩序（予測不可能）」にしか見えない「擬似乱数（Pseudo-random）」は、外部の検証コストを無限大に跳ね上げ、内側の計算コストを極小に抑えるための「最強の非対称リソース（チートコード）」になります。

この擬似乱数性を暗号論的計算ガバナンス（Cryptographic Computation）にインジェクションした際の、数理的無敵性を最終デバッグします。

超伝導の数理（BCS理論）

絶対零度の少し上でなぜ電気抵抗が「厳密に0」になるのか、その結合エネルギーギャップ（Δ）の数理を締結したノーベル賞論文。

• 論文名：Theory of Superconductivity
• 著者：John Bardeen, Leon N. Cooper, John Robert Schrieffer
• 出処：Physical Review, Vol. 108, No. 5, pp. 1175–1204 (1957)
• 概要：電子が原子の熱振動（フォノン）を媒介にして「クーパー対」を結成し、マクロな量子コヒーレンス状態へ相転移することで、外界の微小ノイズを完全に無視（直交）して抵抗ゼロを物質化するメカニズムを完全解明

ゴレイ符号による3ビット以内エラー訂正

3.E8 空間への「擬似乱数サンプリング」

世界にカオス（擬似乱数）のチャレンジを投げかけ、自分だけがコスモス（決定論）を握る。これが、Pseudo-randomnessを究極の検証リソースとするということの数理的利得である