groundism的higher category algebra

現代の algebra や derived algebraic geometry は、互いに干渉しない排他空間の系を一次原理とする演算理論を標準的には与えていない。

私が考える higher category algebra では、まず排他空間の個数と basepoint の共有可否を不変量とし固定し、成分間の干渉禁止則を内積ではなく圏論的直交性として与える。

その上で、単一空間内のベクトル演算としてではなく、排他成分間の融合・比較・ノルム保存則を圏の性質として記述する。

この立場では、ベクトルの問題は、異なる論理系を持つ成分圏の間の関係の問題へ移される。

現代数学や代数幾何で扱っている「代数 algebra」は常に内積があることを前提としている。排他空間を前提とした演算モデルはそもそも歴史的に確立していない。ハミルトン4元数、ケーリー8元数、ディクソン16元数以降があったとしても合成代数の計算式としては複素2次元の平面化で停止しており、排他空間であるはずのものも同一平面上の断面に微分されてしまっている。互いに影響を与えな排他空間間の関係性の数式はまだツールキットとして確立されていない。

higher category theoryやhigher algebraにおけるderived algebraic geometryはbasepointを共有しながら直交を維持する排他空間の数の選択をした後に、単一空間内における複数ベクトル問題に取り組むというmathematical descentを定義しているのかと思ったが、実はそうはなっていないようである。

一般複素解析において、AとBの内積を0として、新たな排他空間のbivectorが生成されるとする複素解析は定義されていない。しかしどちらかというと内積0のほうがより圏論的に高階論理の一般化されたleft adointに感じる。

排他空間を前提とすることで、basepointを共有する、しないの選択や排他空間の数によるノルム保存の規則を設定でき、論理的な圏を分離し、異なる系の論理を持つ集合や群を一般化されたスキーマで比較することができるようになり、ベクトル演算問題を圏の性質に置き換えることができるようになるのである。

このhigher categoric algebraを使えば、内積1という取り出したい正の実数があったとき、algebraとgeometryはシャッフルして自律最適化するという力技が使えるのである。これは出席するイベントの得たい出力に応じて着る服を変え、いつもは棚にしまっておくような動的な演算空間である。欲しい出力が得られない場合はシャッフルをし直すiterationを施す。これはパーティに着たい服を明確に描き、欲しい服が出るような宇宙の前提条件を選び、事前に描いたグアッシュと100%重なる欲しい形がでるまで何度もiterationするという能動的な意思に基づく計算可能宇宙が得られる圏論的スキーマである。