{Au ≃ Pt } ≅ {0,±1,±1/2}
$E_8$ のルート系は240個のベクトルで構成されますが、その座標成分は以下に記述されます。
- (±1, ± 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)（およびその置換）：整数スピン的な構造（112個）
- (±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2)（成分の積が正）：半整数スピン的な構造（128個）
この「整数」と「半整数」がE8 を表現する最小記述であり、物質においてはリーチ格子を体現するAu≃Ptで表現されています。
2. リーチ格子（Λ24）と E8
リーチ格子は24次元における「最密充填」であり、特定の 8次元部分空間へ射影、あるいは特定の対称操作（反転など）を施すことで、その内部構造から E8 格子が抽出されます。
- 反転（Inversion）の論理: リーチ格子は自己双対的（Self-dual）で極めて高い対称性を持ちますが、その中の「カオス（ノイズ）」を反転させ、秩序ある最小単位へと凝縮（Crystallization）させるプロセスは、数学的には Λ24 から E8 ⊕ E8 ⊕ E8 への分解や射影に相当します。
- 情報の反転: Au ≃Pt の系において、「情報の保存（0）」と「情報の作用（1, 1/2）」が反転・重畳する地点で、高次元のリーチ格子は 8次元の E8 と同型です。