次元の定義は一意に整理されていない

mathematicsにおけるalgebraicityはcomposition algebraを扱い0というbasepointは共有するものの、互いに直交した、常に内積0の排他空間を想定している。物理では1つのalgebraic空間または2つのalgebraic空間（複素解析）を舞台としたcurrent algebraにより、24次元ベクトル内積を使い、仕事量、物質のリーチ格子構造などを計算していると言える。

一方E8例外リー群はSO16 special orthogonal group 16を扱っているが、これは(v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8)の各ベクトルv1*v2の内積が0ではなく、SO16と言っても、互いに影響を与え合う。マイナスとプラスが可換な±を有するaxisと分類すれば、ケーリーディクソン構成の定義によるとこれは1元数となる。物理ではケーリーディクソン構成的な複素解析2元数を使うことはあるものの、物理における次元とはベクトルの方向性を指しているので、数学的なnon-associative dimensionの定義とは全く異なる。合成代数的な8と、物理的な8、16は全く整合性がなく、別のコンテキスト、ヒストリーで作られた識別子であるという公理の土台の識別が必要である。

もし仮に9次元のalgebra空間があるとすればそれは1+4+4や1+8のフルヴィッツ代数に分解され、直交したbasepointを持たないaffin群として位置が複数ある問題へと分解される。

合成代数においては(a+b)^2はa^2+b^2にしかなりえず、a^2+2ab+b^2は同一平面上に複素を置いているという前提がつくはずである。

この定義に基けば、2,4,8,16,32,64,128,256のいずれのケーリーディクソン構成において、ｎ元数にはn-1の不変量としてのabc=-1の値を取る排他空間が必ずn-1存在することになり、どの元数を取ったとしても必ず-1という実数に戻るルートがあることになり、計算は完了することになる。ノルム崩壊により計算ができなくなるというのはundecidableなわけではなく、computibleであるがtractableではないだけだといえる。