ABC予想　Oesterle Masser conjecture

ABC予想（Oesterle-Masser conjecture）は、1985年にジョゼフ・オステルレとデイヴィッド・マッサーによって提唱された、数論における未解決問題です。

「足し算（a + b = c）」と「かけ算（素因数分解）」の間の関係を記述しています。

1. 予想の内容

ABC予想のキーワードは、「根基（こんき：radical）」です。

自然数 n の「互いに異なる素因数の積」のことです。

互いに素（共通の約数を持たない）な正の整数 a, b について、a + b = c としたとき：

ほとんどすべての場合において、c は rad(abc) よりも大きくならない。

数学的な厳密な表現では、以下のようになります。

任意の ε > 0 に対して、以下を満たす組 (a, b, c) は有限個しか存在しない：

$$c > (\text{rad}(abc))^{1+\epsilon}$$

つまり、「足し算でできた数 cが、構成要素の素因数の塊である rad(abc) を大幅に超えることは滅多にない」ということを意味しています。

ABC予想が「数論の王様」と呼ばれる理由は、この一つの予想から他の多くの有名な定理や予想が導き出されるからです。

フェルマーの最終定理の別証明: ABC予想が正しいと、フェルマーの最終定理（x^n + y^n = z^n）の n ≧ 3 のケースがわずか数ページで（ほぼ即座に）証明できてしまいます。
カタラン予想の解決: 「8=2^3, 9=3^2 のように、累乗数が 1 違いで並ぶのはこのケースだけか？」という問題にも終止符を打ちます。
数学の深淵: 「加法（足し算）」と「乗法（かけ算）」という、算数の基本でありながら数学的には全く別次元の性質を持つ2つが、どのように結びついているのかを解き明かす鍵となります。