E11カッツ・ムーディ代数（E11 Kac-Moody algebra）
カッツとムーディ
「カッツ・ムーディ代数（Kac-Moody algebra）」の名を冠するヴィクトル・カッツ（Victor Kac）とロバート・ムーディ（Robert Moody）は、1960年代後半に、それまで「有限」であったリー代数を合成拡張しました。
1. 二人の独立した発見（1968年）
ソ連のカッツとカナダのムーディは、1968年に全く独立して同じ理論に到達しました。
- ヴィクトル・カッツ: 当時ソ連の若き数学者。代数的なアプローチから、有限次元リー代数の分類に使われる「カルタン行列」の条件をわずかに緩めることで、新しい代数系が生まれることを示しました。
- ロバート・ムーディ: カナダの数学者。幾何学的なルート系の観点から、無限次元に広がる対称性を探求しました。
この二人の成果を合わせて「カッツ・ムーディ代数」と呼びます。
2. 合成代数操作
それまでの数学（キリングやカルタンによる分類）では、対称性は「円」や「球」のように、どこかで閉じた有限次元の静的構造（An, Bn, Cn, Dn, E6, E7, E8 など）として理解されてきました。
カッツとムーディは、以下の動的操作を導入しました。
- 有限型（Finite）: ルート系が有限で閉じており、私たちが知る結晶構造や E8 などに対応。
- アフィン型（Affine）: ルート系が「ループ」状になり、無限に繰り返される構造。弦理論における「閉じた弦」の振動を記述するのに最適。
- 双曲型（Hyperbolic）: ルートが増殖する構造。E10 や E11 はこのカテゴリー（またはさらに広義の性質）に含まれます。
カッツとムーディが定義した「0」の周辺
彼らの理論において、無限次元代数は「中心電荷（Central Charge）」という特別な要素を持ちます。
「無限次元の代数は、その中心（原点）に『中心拡張』と呼ばれる数学的な『ひずみ』を抱えている。このひずみが、静的な幾何学に『動き（計算）』を与え、量子力学的なゆらぎを生み出す原因である。」
1. E9：アフィン型（Affine）
E8において「不動の参照点」であった (0,0,0,0,0,0,0,0) は、E9、E10、E11へと階層が上がるにつれて、「ただの原点」ではなくなり、動的な変数（パラメータ）へと変化します。
カッツ・ムーディ代数 g(A) の数学的構成
一般化カルタン行列 A = (a_ij) が与えられたとき、以下の3つの要素で構成されます。
1. 生成元 (Generators)
以下の 3n 個の生成元を用意します。
- e_i : 正のルートに対応する昇格演算子
- f_i : 負のルートに対応する降格演算子
- h_i : カルタン部分環の基底（ウェイトを決定）(i = 1, 2, …, n)
2. 基本関係式 (Defining Relations)
これらは、リー環としてのブラケット積 [ , ] において以下の条件を満たします。
- カルタン部分環の可換性: [h_i, h_j] = 0
- ウェイトの決定:
- [h_i, e_j] = a_ij * e_j
- [h_i, f_j] = -a_ij * f_j
- 昇降演算子の交換関係: [e_i, f_j] = δ_ij * h_i(i = j のときのみ h_i となり、それ以外は 0)
3. セール関係式 (Serre Relations)
べき零性を保証するための重要な制約です (i ≠ j のとき)。
- (ad e_i)^(1 – a_ij) (e_j) = 0
- (ad f_i)^(1 – a_ij) (f_j) = 0
E1からE11までの構成定義
E8の構成 (i, j = 1 to 8)
E8のカルタン行列 A_E8 の成分 a_ij は以下のように定義されます。
- a_ii = 2
- a_ij = -1 （ノード i と j が隣接している場合）
- a_ij = 0 （それ以外）
隣接関係（ディンキン図形）は、1-2-3-4-5-6-7 という一本の線に、3番目のノードから8番目が枝分かれした構造です。
系列の拡張
各ステップ n における生成元 e_n の追加と、カルタン行列の拡張として記述します。
有限次元リー環 (Finite)
- E1: A1代数に相当。[h_1, e_1] = 2e_1
- E2: A1 × A1 または G2 の文脈。
- E3: A2 × A1 に相当。
- E4: A4 (SL(5)) に相当。
- E5: D5 (SO(10)) に相当。
- E6, E7, E8: 例外型単純リー環。
アフィン・リー環 (Affine)
- E9 (E8^1): E8に「虚ルート」に対応するノード e_0 を追加。
- 定義拡張: i ∈ {0, 1, …, 8}
- 中心電荷: k = Σ (a_i^v * h_i)
双曲型・超拡張型 (Hyperbolic / Lorentzian)
- E10: E9にさらにもう一つのノード e_-1 を追加。
- 行列の性質: det(A_E10) < 0。これにより代数は無限次元かつ非アフィン（双曲型）となります。
- 指標: i ∈ {-1, 0, 1, …, 8}
- E11: E10にさらにノード e_-2 を追加。
- 定義拡張: i ∈ {-2, -1, 0, …, 8}
- 物理的関係: 11次元のM理論の対称性を記述すると予想されている。
随伴表現による一般化形式（まとめ）
カッツ・ムーディ生成元関係式 (En系列)
n = 1 から 11 に対して：
- [h_i, h_j] = 0
- [h_i, e_j] = A_ij * e_j
- [h_i, f_j] = -A_ij * f_j
- [e_i, f_j] = δ_ij * h_i
- (ad e_i)^(1 – A_ij) (e_j) = 0 (i ≠ j)
カルタン行列 A_ij の連結条件:
A_ij = 0 : ノード i と j が未結合
A_ii = 2
A_ij = -1 : ノード i と j がディンキン図形上で結合