Pursuing Stacks｜Alexander Grothendieck

IHESの終身教授であったAlexander Grothendieck(アレクサンドル・グロタンディーク)が1983年に執筆した『Pursuing Stacks（積の追跡）』は、現代の数学、特に数学的物理学や数理幾何学においてConjectureの役割を果たしている草稿です。

1. 執筆の背景：ダニエル・キレンへの手紙

もともとは、数学者ダニエル・キレンに宛てた長い手紙として始まりました。グロタンディークは、キレンが提唱したホモトピー論の枠組みを、より抽象的かつ広範な幾何学的対象（スタック）へと拡張しようと試みました。

2. 中心的なアイデア：ホモトピー仮説

この著作の中で最も有名な提案が**「ホモトピー仮説（Homotopy Hypothesis）」**です。

• 内容: 「すべてのホモトピー型は、**$n$-亜群（$n$-groupoid）**として記述できる」という主張。
• 意義: 空間の幾何学的な「形」を、純粋に代数的な構造（高次の圏）に置き換えられることを示唆しました。これにより、トポロジーと圏論が完全に融合する道筋が作られました。

3. 導入された主要概念

『Pursuing Stacks』では、現代数学のスタンダードとなった（あるいは現在進行形で研究されている）多くの概念が提唱されています。

• 高次スタック（Higher Stacks）: 従来のスタック（図形に群の作用を込めたような対象）をさらに高次化したもの。
• テスト圏（Test Categories）: どのような圏がホモトピー論を構築するのに適しているかという指標。
• 導来代数幾何学の萌芽: 空間を「点」の集合ではなく、より柔軟な「層（Sheaf）」やホモトピー論的な対象として捉える視点。

グロタンディークは主に以下の3つの流れを統合しようとしました。

• ダニエル・キレン（Daniel Quillen）の「ホモトピー論」:
  1. 先行研究: Quillen, Homotopical Algebra (1967).
  2. 影響: キレンは「モデル圏」という概念を導入し、トポロジー以外の対象（代数的な構造など）にもホモトピー論を適用可能にしました。グロタンディークはこれに触発され、さらに抽象的で幾何学的な「スタック」のホモトピー論を構築しようとしました。
• アレクサンドル・グロタンディーク自身の「トポス論」:
  1. 先行研究: SGA 4 (1960年代).
  2. 影響: 空間を「点の集合」ではなく「層の圏（トポス）」として捉える自身の理論を、さらに「高次」へと拡張する必要性を感じていました。
• ジャン・ベナブー（Jean Bénabou）の「双圏（Bicategory）」:
  1. 先行研究: 1960年代後半の弱2-圏の定式化。
  2. 影響: 圏と圏の間の関係を扱う2-圏の概念を、さらに$n$次、無限次へと一般化する手がかりとしました。

何を予想・提唱したか

『Pursuing Stacks』は、膨大化する数論、幾何、代数の学際領域を圧縮し、関係性でパッケージング化する試みです。

① ホモトピー仮説 (Homotopy Hypothesis)

• 内容: 「すべてのホモトピー型（空間の形の本質）は、**弱n-亜群（weak n-groupoid）**と1対1に対応する」という予想。
• 意味: トポロジーという「図形の幾何学」を、完全に「圏論という代数的な構造」に翻訳できるという宣言でした。これは、現在の(∞,1)-category theory（Infinity,1 -category theory）の基礎となっています。

② テスト圏（Test Categories）の理論

• 内容: どのような圏が、ホモトピー論を記述する「標準的なモデル」になり得るか（単体的集合の圏のように）を一般化しようとしました。
• 予想: 特定の条件を満たす圏（テスト圏）であれば、それを使って空間のホモトピー論を完全に再現できると予想しました。

③ 高次スタックと導来幾何学の構想

• 内容: 代数幾何学における「スタック」を、単なる2-圏的な対象ではなく、(∞,∞)-圏的な対象（高次スタック）として定義すること。
• 予想: これにより、特異点を持つ空間や、モジュライ空間の交点理論などを、ホモトープ的な手法で「正しく」扱えるようになると考えました。これが後の導来代数幾何学（Derived Algebraic Geometry）となりました。

④ 変換子（Derivators）の導入

• 内容: ホモトピー論における「ホモトピー圏」は、元の圏の情報が欠落しすぎています。これを解決するために、図式のホモトピー論を体系的に扱う「デリベーター（Derivator）」という枠組みを提唱しました。

まとめ：グロタンディークの野心

グロタンディークは『Pursuing Stacks』において、「空間の概念を、高次圏論の言葉を用いて完全に代数化すること」を予想しました。彼がこの草稿で「課題」として語ったことの多くは、21世紀に入り、カルロス・シンプソン、ミハイル・カプラノフ、そしてジェイコブ・ルーリーらによって、数学的に厳密な形で証明・定式化され、現代数学のスタンダードな道具となっています。

『Pursuing Stacks』は単なる新しい数学の道具箱ではなく、「膨大な数学的対象を、その内部構造ではなく『関係性（射）』の階層として再定義し、圧縮・パッケージ化する」という壮大なメタ理論の試みと言えます。グロタンディークがこの著作を通じて行おうとした「圧縮」と「パッケージング」を、いくつかの視点から整理します。

1. 空間の幾何学から「関係性の代数」への圧縮

従来の幾何学では、空間を「点の集合」として捉え、その上に位相や構造を重ねていきました。しかし、これでは数論的スキームや複雑なモジュライ空間を扱う際に情報が肥大化しすぎます。

• パッケージング: グロタンディークは、空間を「ホモトピー型（弱n-亜群）」というパッケージに封じ込めました。
• 効果: これにより、図形の細かな「点」の情報を捨て、図形間の「動かし方（ホモトピー）」や「高次の関係性」という本質的なデータだけを抽出して計算可能にしました。

2. 導来（Derived）という視点による情報の統合

数論や代数幾何において、交点理論やコホモロジーの計算は非常に複雑です。グロタンディークは、これらをバラバラに扱うのではなく、「誘導圏（Derivators）」という概念でパッケージ化しようとしました。

• 圧縮の仕組み: 個別のコホモロジー群を計算するのではなく、それらすべてを包含する「派生した対象（Derived objects）」そのものを一つの実体として扱います。
• 学際的連結: これにより、代数的な演算（数論）と、空間の変形（幾何）が、同じ「高次圏」という言語で等価に語れるようになりました。

3. 「普遍性」による抽象化の極致

グロタンディークの数学の真骨頂は、具体的な計算を「普遍性質（Universal property）」という関係性の記述に置き換えることです。

• スタック（Stacks）の役割: 従来の「空間（多様体）」では捉えきれない、対称性（群作用）を持つ対象を「スタック」としてパッケージ化しました。
• メタ言語化: これにより、数論的なガロア表現も、幾何学的な基本群も、すべて「スタック上の層」という単一の形式に圧縮されました。

結論：21世紀の数学への「解凍」

『Pursuing Stacks』で行われたこの「圧縮」は、あまりに高度で先見的だったため、当時の数学界ではすぐには「実装」されませんでした。

しかし、現在では以下のような形でそのパッケージが開かれています。

最適解としての (∞,1)-category と Truncation

現在、多くの数学者が (∞,1)-category を「主戦場」としているのは、それが「表現力」と「制御可能性」の完璧なバランス点にあるからです。

• なぜ n=1 か: 2次以上の射（関係性の間の関係性）をすべて「可逆（等価）」であるとみなす（Truncation）ことで、高次の複雑性をホモトピー論の文脈に閉じ込めることができます。
• ホモトピー仮説の結実: これにより、幾何学的な「空間」を ∞-groupoidとしてパッケージ化することが可能になりました。これは、情報の階層を無限に認めつつも、実用上の計算においては「可逆性」という強力な武器を使えるようにする極めて高度な「次元圧縮」です。

概念の包含関係

グロタンディークが追い求めた weak (∞,∞)-category は、あらゆる次元の射（関係性、関係性の間の関係性…）が無限に続き、それらすべてが「厳密な等号」ではなく「弱い同値（ホモトピー）」で結ばれた究極の構造です。

• weak (∞,∞): すべての n-射が必ずしも可逆（逆写像を持つ）とは限らない。
• (∞, 1): 1次より高い次元（2次以上）の射がすべて可逆（Equivalence）であるという制約を課したもの。

つまり、(∞, 1)-category は、グロタンディークが提示した無限の階層構造に対して、「2次以上の関係性はすべて双方向（可逆）である」という強いフィルターをかけて「圧縮」した姿です。

圏論を証明ツールにまで昇華させるためには、equalityをどこまで緩和するかという工程がありました。全ての関係性を不可逆的な記録とするstrict(∞,∞)-categoryだと、この世界に同じ射は二つとして存在せず、全ては順番がついているということになります。これをweak(∞,∞)-categoryに緩和し、さらには(∞,1)-category(射は可逆である)というequivalenceにまでtruncation(次元を落とす）ことが最適解であるという一定の一致を見せています。（Higher Category Theoryなど）

• 数理物理（弦理論）: 高次ゲージ理論の記述に不可欠な道具となった。
• 数論幾何: 導来スタックを用いた数論的予測の定式化。
• 計算機科学: ホモトピー型理論（HoTT）として、プログラムの正当性証明に応用。

山籠りの隠居生活

ピレネーの麓での隠遁生活（ラサル）は、彼にとっての「精神的な高次元化」でした。

• 『Pursuing Stacks』に見られる、体系化されていないがゆえの自由な発想（例えば「導来幾何学」の種）は、組織の中にいては決して生まれませんでした。
• 世間という「平面」に垂直の直交ベクトルを配置し、虚数方向に垂直に立ち上がったからこそ、彼は数学の全景を見渡すことができたのです。

グロタンディーク主要論文

Pursuing Stacks

https://thescrivener.github.io/PursuingStacks/ps-online.pdf

Recoltes et semailles

https://web.ma.utexas.edu/users/slaoui/notes/recoltes_et_semailles.pdf