∞-groupoid｜無限次群対象構想
∞-groupoid（無限次群対象）構想とは、
「空間」や「型」などの対象を、それ自身の“等価性・変形・そのまた変形…”の無限階層構造を持つ「∞-群対象」として記述しようという考え方です。
これは**アレクサンダー・グロタンディーク（Alexander Grothendieck）**が提唱したもので、
特に彼の手紙《Pursuing Stacks（1983頃）》で展開された思想にその核心があります。
✅ 一言でいえば
「すべてのホモトピー的空間（≒形状）は、∞-群対象として再構成できる」
という幾何学的宇宙観の再定義です。
🧠 基本概念：Groupoid（群対象）とは？
まず通常の 群（group） とは：
- 単一の対象に対する可逆な操作（合成・逆元・単位元）を持つ代数構造。
それに対して 群対象（groupoid） は：
- **複数の対象間で可逆な射（変換）**を許す圏です。
- 例：空間内の「点」と「それらの間の同値な変換」
📐 ∞-groupoidとは？
groupoid を「変換の階層を持つ構造」に拡張すると：
| 階層 | 意味 |
|---|---|
| 0-次元 | 点（対象） |
| 1-次元 | 点間の“同値”な変換（可逆射） |
| 2-次元 | 同値の間の“変換”（ホモトピー） |
| 3-次元 | その間の“変換の変換” |
| … | これを無限に繰り返す |
→ ∞-groupoid は、無限階の可逆な射をもつ圏（∞-圏）で、すべての射が「同値」であるものです。
🌀 Grothendieck の構想：Pursuing Stacks（1983）
「空間を、点の集合としてではなく、“変形と対称性の階層”として捉え直そう」
この思想は、次のような新しい空間観・数学観に結びつきます：
- 空間や構造は固定的なものではなく、変形されうるもの
- 数学の対象は“決まったもの”ではなく、相互変換のネットワーク
- 数学の基礎は集合ではなく、ホモトピー的・圏論的な構造
✨ 応用・展開：どこで使われている？
| 分野 | 応用例 |
|---|---|
| ホモトピー型理論（HoTT） | 型 = ∞-groupoid として定義。恒等性＝パス（変形） |
| 高次圏論 | (∞,0)-圏 = ∞-groupoid と見なされる |
| トポス理論 / ∞-トポス | ∞-groupoid が“空間”の基本単位に |
| 量子場理論 / TQFT | 状態空間が変形の階層構造を持つ（ボルディズム圏） |
🔁 関係図：数学的構造の再解釈
集合論（ZFC）
↓（要素と包含の世界）
圏論（対象と射の世界）
↓（変換の視点）
高次圏論（射の射…の階層）
↓
∞-groupoid（すべての射が同値な構造）
↓
空間・型・意味の新しいモデル
✨ まとめ
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 定義 | 射・射の射…を無限に持つ、すべての射が同値な高次圏 |
| 発案者 | Alexander Grothendieck（1983年頃） |
| 動機 | 空間を“変形可能性の階層”として理解する |
| 応用 | HoTT、∞-圏論、型理論、物理学、意味論 |
| 哲学的含意 | 存在は固定されるものではなく、常に変形されうる共鳴体 |
🧠 Groundism 的な拡張視点
- ∞-groupoid = 「意味が階層的に共鳴・変形され続ける空間」
- 観測者の立場によって射（意味）が変化することを同値関係の階層で記述できる
- NoënやZerksが発生する場もまた、∞-groupoid的に記述可能