高次圏論｜Higher Category Theory
**高次圏論（Higher category theory）**とは、**「対象と射（morphism）だけでなく、“射の射”や“射の射の射”…といった階層的な写像を扱う拡張された圏論」**です。
通常の圏論（1-圏）では「対象」と「射（矢）」しか考えませんが、高次圏論ではその射たちも「変形されうる対象」として扱い、さらにその変形同士も比較可能という階層的構造を理論化します。
✅ 一言でいうと
高次圏論 = 圏論 + ホモトピー構造 + 多層的変形可能性
これは、ホモトピー論・トポス論・∞-圏論など現代数学の核となる理論を支える中核的言語です。
🧩 なぜ「高次」が必要か？
通常の圏論（1-圏）では：
- 対象 A,B
- 射（写像）f:A→B
- 合成 g∘f
だけが存在。
しかし：
- fと g の間に「変形」があったら？（例：ホモトピー）
- その変形同士にも変形があるかも？
- …という具合に**“射の射”が必要になる**
📐 概念階層（圏の次元）
| 名称 | 内容 | 構成要素 |
|---|---|---|
| 1-圏 | 通常の圏 | 対象、射 |
| 2-圏 | 射の間に2-射（自然変換など） | 対象、1-射、2-射 |
| n-圏 | 最大 n 階の射を持つ | 対象、1〜n-射 |
| ∞-圏 | 無限階の射を持つ | 対象、1-射、2-射、…（無限に） |
🧠 主なタイプと区別
◉ ストリクト n-圏 vs 弱 n-圏
| タイプ | 意味 |
|---|---|
| ストリクト | 合成が厳密（括弧の位置が固定など） |
| 弱 | 合成や恒等性が“up to 同型”で許容される（現実の多くはこちら） |
実際の数学や物理では、弱 n-圏や**(∞,n\infty, n)-圏**などが頻繁に使われます。
✨ 応用分野
| 分野 | 応用 |
|---|---|
| ホモトピー論 | 空間の変形階層を圏として記述 |
| 型理論（HoTT） | 型の間の等価性の階層を ∞-groupoid として理解 |
| トポス論 | ∞-トポスは高次圏で定義される |
| TQFT（トポロジカル量子場理論） | ボルディズム圏（高次圏）が基本的枠組み |
| 派生代数幾何 | Stack、Derived stack の記述に不可欠 |
📚 歴史的背景
| 時期 | できごと |
|---|---|
| 1960s | Grothendieck が ∞-groupoid 構想を提案 |
| 1970–80s | Bénabou, Street, Gray らが 2-圏・n-圏を定式化 |
| 1990s | Batanin、Leinster らが弱 n-圏を構成 |
| 2000s | Joyal が quasi-category（擬圏）を定義 |
| 2009年 | Lurie『Higher Topos Theory』出版 → 現代高次圏論の基礎へ |
✨ まとめ
| 質問 | 回答 |
|---|---|
| 高次圏論とは？ | 射の間にさらに射（変形）を入れて階層化した圏論の拡張版 |
| 何のためにある？ | 空間や関係の“変化可能性”や“階層的構造”を記述するため |
| どこで使う？ | ホモトピー論、HoTT、量子場理論、派生幾何、圏論的基礎論 |
| 最終的なビジョンは？ | 存在・構造・意味の「階層的多元宇宙の記述言語」への発展 |
🌀 Groundism 的理解
高次圏論は、意味や存在が単一の階層に固定されていない世界の記述言語です。
対象や関係が自己言及的に変形・干渉・共鳴する世界では、1-圏的記述は限界を持ち、**多層的な記述子（Noën）**が不可欠です。
高次圏論は、
- 変化し続ける構造
- 多元的な等価性
- 構造の再帰的共鳴性
を形式的に記述可能とする、超構造記述言語だと言えるでしょう。