Algebra｜代数値が取りうる基本的な分類
✅ 代数的に値が取りうる「基本形」とは？
通常、代数で扱う「数の性質」や「値の種類」の分類は、次のような体系で考えます：
🔢 1. 実数における符号分類（順序性のある場合）
- 正の数
> 0 - 負の数
< 0 - ゼロ
= 0
これらは、順序体（ordered field） でのみ意味を持ちます（例：実数 ℝ）。
🔣 2. 複素数まで拡張すると…
複素数の集合 ℂ では、「正・負」の概念がありません。
代わりに、次のような分類が使われます：
- 実数成分のみ：
a + 0i（例：3, -5） - 虚数成分のみ：
0 + bi（例：2i, -7i） - 複素数全体：
a + bi（a, b ∈ ℝ）
🔬 3. 代数的な分類（代数方程式に現れる解のタイプ）
| 分類 | 説明 | 例 |
|---|---|---|
| 実数解（正・負・0） | 代数方程式の実解 | x² - 1 = 0 → x = ±1 |
| 虚数解（非実） | 実係数方程式における虚数解 | x² + 1 = 0 → x = ±i |
| 重解（重根） | 解の重複 | x² = 0 → x = 0（重解） |
| 無理数解 | 代数だが有理数でない | x² = 2 → x = ±√2 |
実数領域なら：
- 正 (
>0) - ゼロ (
0) - 負 (
<0)
複素数全体なら：
- 実数（a + 0i）
- 純虚数（0 + bi）
- 複素数（a + bi, a≠0, b≠0）
🧩代数的構造の観点から見た分類軸
| 観点 | 主な分類 |
|---|---|
| 順序性 | 正・負・ゼロ（ℝ） |
| 実・虚 | 実数、純虚数、複素数 |
| 代数性 | 有理数・無理数・代数数・超越数 |
| 零因子性 | ゼロ・零因子・単元（環・体） |