ラッセルのパラドックス Russell’s paradox
1901年頃に哲学者・数学者のバートランド・ラッセル(Bertrand Russell 1872-1970)によって発見。
1. どんなパラドックスなのか？
ラッセルは、集合は条件に応じて矛盾が生じることを指摘しました。例は「床屋のパラドックス」です。
ある村の床屋は、「自分で髭を剃らない村人全員の髭を剃り、それ以外の人の髭は剃らない」というルールを掲げています。さて、この床屋は「自分の髭」を剃るべきでしょうか？
- 剃る場合： 「自分で髭を剃る人」になるので、ルールにより自分は剃ってはいけない→ルールに矛盾
- 剃らない場合： 「自分で髭を剃らない人」になるので、ルールにより自分の髭を床屋として剃る必要がある→矛盾
2. 数学的な表現
集合論の言葉で書くと、以下のようになります。
自分自身を要素として持たない集合を A とすると、集合 R を次のように定義します。
このとき、「R は R 自身の要素か？」（R ∈ R か？）を考えると：
- R ∈ R と仮定すると、定義から R ∉ R となり矛盾。
- R ∉ R と仮定すると、定義から R ∈ R となり矛盾。
3. 集合論の定義変更
当時の数学者たちは、「どんな条件であっても、それに当てはまるものを集めれば『集合』になる」と考えていました（これを素朴集合論といいます）。
しかし、ラッセルが示したのは、「適当に条件を作ると、論理的に破綻して集合として成立しないケースがある」ということでした。
4. その後の影響
このパラドックスを解決するために、数学者たちは集合論を厳密に作り直す必要に迫られました。
- 公理的集合論（ZFC集合論など）： 「どんな条件でも集合にしていいわけではない」というルール（公理）を決めました。
- 型理論： ラッセル自身が提唱した、集合に階層（型）を作る考え方です。
1. 分出公理
ラッセルのパラドックスを防ぐ最大のルールです。
- 「すでに存在が認められている大きな集合の中から、特定の条件に合うものだけを取り出して新しい集合にしよう」
つまり、「何もないところから条件だけで集合を作る」のを禁止し、「既存の集合の一部を切り出す」という形にしたのです。これにより、自分自身を含むような巨大すぎる集まり（クラス）が集合として扱われるのを防いでいます。
2. 「部品」があれば集合が作れる（対の公理・和集合の公理）
- a と b という集合があるなら、それらをセットにした {a, b} も集合として認める。
- 集合の集まりがあるなら、その中身を一つにまとめたもの（和集合）も集合とする。
3. 「べき集合」は作ってよし（べき集合公理）
ある集合の「部分集合」をすべて集めた集合（べき集合）も、また集合として認めるというルールです。
集合ルールの重要性
数学において「集合」はすべての基礎です。
- 数字の「1」や「2」も、集合を使って定義されています。
- 関数や図形も、集合として定義されます。
もし集合論のルールに「矛盾」が一つでも混じっていると、その上に建っている数学全体が崩れてしまうからです。 - 素朴集合論は爆発（パラドックス）が起きてしまいました。
論理矛盾は爆発律（Principle of Explosion）」、またはラテン語で「Ex Falso Quodlibet（偽からは何でも従う）」と呼ばれます。
論理学において、「矛盾（P かつ ¬P）」を前提に含んでしまうと、そこからどんなに無関係な命題でも証明できてしまうという性質を爆発律といいます。ラッセルの問いはこの爆発律を取り除くきっかけとなりました。
一方コンピューティングの分野ではこの論理の矛盾というランダムネスそのものを演算資源として扱うことでノルムの解除律そのものを演算資源としてもちい、対話型証明で検証しようとしています。