Quasi-category 擬圏 Andre Joyal
アンドレ・ジョイヤル（André Joyal）が提唱し、ジェイコブ・ルーリーが応用したQuasi-category（クェーシ・カテゴリー / 擬圏）は、現代数学の「高次化」を実現するためのモデルです。通常のカテゴリー（圏）の定義を、ホモトピー論（図形の変形）が扱えるように定義したものです。
1. なぜ「Quasi（擬）」なのか？
通常のカテゴリーでは、2つの射（矢印） f とg があったとき、その合成 g ○ f は「一つ」に決まらなければなりません。しかし、現実の複雑な空間や量子的な重ね合わせを扱うには、この制約が厳しすぎました。
- Quasi-categoryのアイデア: 合成は「一つ」でなくても良い。ただし、異なる合成結果の間には「それらをつなぐ変形（ホモトピー）」が存在し、その変形自体もまた高次の変形でつながっている必要がある。
2. 単体的集合（Simplicial Set）としての正体
ジョイヤルは、空間を「点」「線」「三角形」「四面体」……という単体（Simplex）の集まりとして記述する「単体的集合」という枠組みを使い、Quasi-categoryを定義しました。
- 0-simplex: 対象（点）
- 1-simplex: 射（矢印）
- 2-simplex: 射の合成（三角形の面）。これが「合成の一意性」の代わりに「合成の可能性」を保証します。
- 高次単体: 結合法則などの「一貫性（Coherence）」を保証するデータの積み重ね。
3. ジョイヤルの「弱カン条件（Weak Kan Condition）」
ジョイヤルの最大の貢献は、「弱カン複体（Weak Kan Complex）」という概念が、∞-カテゴリーを扱うためのモデルになることを見抜いた点にあります。それまで「トポロジー（形）」を扱うための道具だった単体的集合に、「圏論（代数）」としての構造を持ち込めることを証明しました。これにより、幾何学的な直感（図形を膨らませたり縮めたりする操作）を、厳密な代数的計算に乗せることが可能になったのです。
- ジョイヤル: 「この材料（Quasi-category）を使えば、高次の概念を矛盾なく記述できるはずだ」という基礎理論を構築。
- ルーリー: その理論をベースに、何千もの定理を証明し、実用的な「∞-category theory」を完成させた。
- 計算機としてのQuasi-category: 無限の階層（∞-groupoid）を、有限の単体（三角形など）の組み合わせとしてデータ化し、計算可能にするためのモデル