Infinity Category Theory（∞-圏論）は、高次圏論（Higher Category Theory）の拡張形（特に極限までの一般化）と見なされます。
高次圏論は「有限次元（n-圏）」を扱う理論群であり、∞-圏論はそれを“無限階層”に一般化したもの。
よって、∞-圏論 ⊇ 高次圏論（n-圏論） です。
🧭 系譜図：高次圏論から∞-圏論へ
1-Category（通常の圏論）
└─▶ 2-Category（自然変換を構造化）
└─▶ 3-Category（自然変換の自然変換）
⋮
└─▶ n-Category（有限次元）
└─▶ ∞-Category（無限次元）
🔍 用語の整理
| 用語 | 内容 |
|---|
| 高次圏論（Higher Category Theory） | 対象・射・2-射・…と階層的に構造を持つ圏を扱う理論全般。 |
| n-圏（n-Category） | 最高で nn 次の射までをもつ圏。例えば 2-圏は自然変換まで。 |
| ∞-圏（Infinity Category） | 任意の高次射を持ち、無限階層の構造を内包する圏。 |
📐 イメージの違い
通常の圏（1-圏）
2-圏（2-Category）
- 射 f:A→B
- 2-射 α:f⇒g（自然変換のようなもの）
∞-圏（Infinity Category）
- f, g, h: 1-射
- α,β,γ : 2-射
- ϕ,ψ : 3-射（2-射間の変形）
- …
- すべての階層において射が存在し、しかも「同型（invertible）」
📏 様々な∞-圏のモデル（代表的な4つ）
| モデル | 概要 | 主な研究者 |
|---|
| Quasi-category（弱単体的集合） | 単体集合を使って∞-圏を構成。最も広く使われる定義。 | Joyal, Lurie |
| Segal空間（Segal Space） | 空間の系列で構成され、Segal条件で圏構造を再現。 | Rezk |
| Complete Segal Space | Segal空間＋完全性条件。より柔軟な∞-圏モデル。 | Rezk |
| ∞-グループイド（∞-Groupoid） | すべての射が同型な∞-圏。ホモトピー空間と対応。 | Grothendieck, homotopy theorists |
🧠 哲学的転回
| 観点 | 通常の圏論 | ∞-圏論 |
|---|
| 同値性 | 厳密な等式（=） | 柔らかな変形（≃）やホモトピー |
| 射の意味 | 「操作」や「関係」 | 「変形可能性」や「構造の柔軟性」 |
| 対象の本質 | 他との関係で定義 | 関係＋関係の変化まで含めて定義 |
📚 代表的な文献
- Lurie’s Higher Topos Theory（HTT） → Quasi-categoriesを用いて ∞-圏論の体系を確立。
- Jacob Lurie’s Higher Algebra → ∞-圏を基盤としたモノイド圏や導来代数の理論。
✨ 結論
- ∞-圏論は、高次圏論（n-圏）を無限階層に拡張したものであり、**最も包括的な「関係の理論」**といえる。
- すべての高次圏は、∞-圏の部分構造として記述可能。
- ホモトピー型理論（HoTT）やトポス理論との融合によって、数理基礎論・意味論・量子重力理論にまで応用が広がっています。
