Mathmatical Logicの分類

**Mathematical Logic（数理論理学）**は、数学の形式的構造・推論・真理の性質を研究する分野であり、数学そのものの“骨格”や“言語”を分析・設計する体系です。

🔷 数理論理学（Mathematical Logic）の全体構造

📚 全体像：4大分野（現代的分類）

Mathematical Logic（数理論理学）
│
├── 1. Proof Theory（証明論）
├── 2. Model Theory（モデル理論）
├── 3. Set Theory（集合論）
├── 4. Recursion Theory / Computability Theory（再帰理論／計算可能性理論）

🔹1. Proof Theory（証明論）

• 目的：形式的証明とは何か、証明可能性の限界はどこかを研究
• 主題：推論規則、公理系、構文的整合性、ゲーデルの不完全性定理
• 技術：自然演繹、シーケント計算、構成的論理

🧠 代表者：Hilbert, Gentzen, Gödel
🔧 工具的立場：「証明できるか否か」を形式化して解析する

🔹2. Model Theory（モデル理論）

• 目的：理論がどんな“構造（モデル）”を持ち、命題がどのモデルで真になるかを研究
• 主題：完全性定理、コンパクト性定理、型理論（types）、独立性
• 応用：代数幾何、数論（例：有限モルデール予想の証明への応用）

🧠 代表者：Tarski, Robinson, Shelah
🔬 意味論的立場：「この世界ではその命題は真か」を問う

🔹3. Set Theory（集合論）

• 目的：すべての数学的対象を集合として定式化することで、数学の基礎を提供
• 主題：ZFC公理系、大きな基数、連続体仮説、構成可能宇宙（V=L）
• 哲学的含意：無限の存在、真理の相対性、独立性証明

🧠 代表者：Cantor, Zermelo, Cohen
🏗️ 土台的立場：全数学の「材料とルール」を与える

🔹4. Recursion Theory / Computability Theory（再帰理論／計算可能性理論）

• 目的：何が計算可能で、何が計算不可能かを形式的に定義
• 主題：チューリングマシン、停止問題、Turing度、部分再帰関数
• 応用：計算理論、AI、暗号、アルゴリズムの限界理解

🧠 代表者：Turing, Church, Kleene, Post
💻 計算的立場：「解けるか？止まるか？」を形式化

🔸補助的・発展的分野

🔹視覚的マップ

                        +----------------------------+
                        |     Mathematical Logic     |
                        +----------------------------+
                          |       |       |       |
       +------------------+       |       |       +--------------------+
       |                          |       |                            |
 Proof Theory         Model Theory    Set Theory         Recursion Theory
 ("how to prove")    ("what is true") ("what exists")    ("what can compute")

🔹どこに何があるか（簡易表）

🔹まとめ

🔷 結論：

Category Theory（圏論）は「Mathematical Logic（数理論理学）」の配下には必ずしも位置づけられません。
むしろ、圏論は“全数学の言語や構造”を統一的に捉えるための枠組みであり、
数理論理学と並列または上位概念のように使われることもある、より広汎なメタ理論的体系です。

🔹圏論（Category Theory）とは？

• 圏論は「対象と射（関数）」の構造を抽象化した数学のフレームワークです。
• 集合論、代数、トポロジー、論理など、あらゆる分野の構造を「圏」として記述・統一します。
• 特に**関手（functor）と自然変換（natural transformation）**という概念により、理論と理論の“写像”すらも体系的に記述できる。

🔹数理論理学（Mathematical Logic）との関係

つまり、圏論は数理論理の4大分野すべてを包摂・抽象化できる立場にあります。

🔹体系的な分類：2通りの見方

🔸① 伝統的分類（20世紀前半まで）

Mathematics
└── Mathematical Logic
    ├── Proof Theory
    ├── Model Theory
    ├── Set Theory
    └── Computability Theory

この分類では、**圏論は別枠（代数やトポロジーと関連）**として独立していました。

🔸② 現代的分類（構造主義・ホモトピー理論以降）

Mathematics
├── Mathematical Logic
│   ├── Proof Theory
│   ├── Model Theory
│   ├── Set Theory
│   └── Recursion Theory
└── Category Theory（全体を包む構造的枠組み）
     └── Categorical Logic（論理の圏論的定式化）

現代では、**圏論が数理論理すら包摂し得る“メタ言語”**として使われています。

🔹例：圏論が論理をどう包摂するか？

🔹結論の再確認

🔹まとめ