Large Cardinals｜大きな基数
「大きな基数（large cardinal）」と「決定性（determinacy）」の研究は、**集合論（とくにZFCの拡張）**における最深部のテーマの一つです。
🔷 1. 大きな基数（Large Cardinals）とは？
大きな基数とは、通常のZFC（ツェルメロ＝フレンケル集合論＋選択公理）ではその存在が証明できないが、存在すれば非常に強い性質を持つ無限の階層のことです。
主な例
| 名前 | 定義の直感 | 位置付け |
|---|---|---|
| 弱 コンパクト基数 | コンパクト性定理を拡張 | 比較的「小さな」大きな基数 |
| メジャリング基数（measurable cardinal） | 測度論的構造を持つ | 決定性との関連が深い |
| ウッドイン基数（Woodin cardinal） | 決定性や記述集合論と関係 | 決定性の前提として使われる |
| スーパーカード（supercompact cardinal） | 全ての構造を内包するほど強力 | 大きな基数階層の頂点に近い |
🔷 2. 決定性（Determinacy）とは？
「決定性」は、ある無限ゲームがどちらかのプレイヤーに必勝戦略があることを言います。
例：バナッハ＝マズールゲーム
- プレイヤー I と II が交互に自然数を選ぶ：
n0,n1,n2,… - 無限列 (n0,n1,… )が、ある集合 A⊆ωω に属していたら I の勝ち、それ以外は II の勝ち。
- このゲームに **必勝戦略が必ずどちらかにあるか？**が決定性の問題です。
決定性の型
| 決定性の種類 | 説明 |
|---|---|
| Borel 決定性 | Borel 集合については ZFC で証明できる（Martin 1975） |
| 解析的決定性（projective determinacy） | より複雑な記述集合論的構造に対しての決定性 |
| AD（Axiom of Determinacy） | 選択公理に代わる仮定として提案される |
🔷 3. なぜ「大きな基数」と「決定性」が関係するのか？
ZFC では、「解析的決定性」は証明できません。しかし、ある種の大きな基数の存在を仮定すると、決定性が導かれることが知られています。
例：Woodin基数と決定性
- **Projective Determinacy（PD）**を仮定したいなら、 → 十分に多くの Woodin 基数の存在が必要。
- AD（決定性公理） を仮定すると、 → 実数に関する集合論の性質が大幅に変わる（選択公理が成り立たないが、美しい構造が生まれる）。
🔷 4. 研究の意義
- ZFCの限界の理解：大きな基数と決定性は、「ZFCでは証明できないが、それでも整合的と思われる」命題の代表例。
- 記述集合論・モデル理論・強制法との接続：決定性の仮定により、実数の集合の構造が非常に整ってくる。
- 数学の基礎における分岐点：選択公理 vs 決定性公理という選択は、「どの数学が美しいか・扱いやすいか」という哲学的問いを含む。
🔷 補足：代表的研究者
- Donald A. Martin：Borel 決定性の証明
- Hugh Woodin：Woodin基数と決定性の接続を研究。Inner Model Theory（内モデル理論）も主導。
- W. Hugh Friedman：大きな基数のヒエラルキー研究
- Solomon Feferman, Dana Scott：初期の決定性研究とその哲学的意義の追求