Steve Smale スティーブスメール

“P versus N P — a gift to mathematics from computer science”
–Steve Smale

Stephen Smale ステファンスメール (July 15, 1930-)はフィールズ賞（1966年）、ウルフ賞（2007年）を受賞しており、その業績は純粋数学から計算機科学にわたります。

1. 高次元ポアンカレ予想の解決

• 内容: 「n 次元の図形が n 次元球面と同じような性質（単連結など）を持っていれば、それは n 次元球面である」という予想を、n ≧ 5 の場合について証明しました。
• 衝撃: 当時、3次元や4次元の解決が非常に難しいとされていた中、彼はあえて高次元（5次元以上）から攻めるという逆転の発想で成功しました。この際に開発された「h-コボルディズム定理」は、現代のトポロジー（位相幾何学）の基礎となっています。

2. 「スメールの馬蹄形」とカオス理論（動学系）

それまで、微分方程式の解は安定した秩序あるものと考えられがちでしたが、スメールはカオス（混沌）が普遍的に存在することを数学的に示しました。

• スメールの馬蹄形（Smale Horseshoe）: 図形を引き伸ばして折りたたむ操作を繰り返すと、極めて複雑で予測不能な動き（カオス）が生じることを示す幾何学的なモデルを考案しました。
• 影響: これにより、「力学系」という分野が大きく発展し、気象予測や物理現象の複雑さを理解するための道筋を作りました。

3. 球面の裏返し（Sphere Eversion）

• 内容: 「球面に穴を開けず、自分自身を通り抜けてもよい（ただし折り目はつけない）」という条件下で、「球を裏返すことは可能である」ことを数学的に証明しました。
• 意義: 直感的には不可能に見えることが、数学的には可能であることを示しました。

4. 計算の計算理論（数値解析・計算機科学）

スメールは「連続的な数値を扱う計算機」の限界と可能性についても洞察を与えました。

• BSSモデル: 従来の計算理論（チューリングマシン）は「0と1」の離散的な世界を扱いますが、スメールは実数や複素数を直接扱うための計算モデル（Blum-Shub-Smaleモデル）を提唱しました。
• 経済学: 数理経済学においても、一般均衡理論の存在証明にトポロジーの手法を導入するなど、大きな足跡を残しています。

スメールの21世紀の問題

1998年、彼はヒルベルトにならって「21世紀に解決すべき18の問題（スメールの問題）」を発表しました。このリストには、前述の「P対NP問題」や「リーマン予想」、「ナビエ・ストークス方程式の解の存在」などが含まれており、現代数学の羅針盤となっています。