アーベル圏｜Abelian Category
「アーベル圏（Abelian Category）」は、代数的構造（とくに加群や加法的対象）を抽象化した圏で、ホモロジー代数や層論の基礎となる概念です。
🔶 定義：アーベル圏とは？
**アーベル圏とは、加法圏であり、核・余核・直和・商などの構造を備えた“加群のように振る舞う圏”**です。
GrothendieckやFreydによって形式化され、以下のような公理を満たす圏を指します。
📚 正確な定義（少し抽象的ですが重要）
圏 Aがアーベル圏であるとは、次のすべてを満たすときです：
- **加法圏（additive category）**である：
- Hom集合 Hom(A,B)がアーベル群
- 射の合成が双線形（bilinear）
- **零対象（zero object）**を持つ：
- 0が始対象でもあり終対象でもある
- 直和（direct sum）が存在する：
- 任意の2対象 A,BA, B に対して A⊕B （oplus) が存在
- すべての射に核（kernel）と余核（cokernel）が存在する
- すべてのモノ射（monomorphism）は核であり、エピ射は余核である
これによって、加群やアーベル群で行っていたホモロジー的な操作（写像の核、像、商など）が抽象的に定義できる。
🎯 直感的にいうと：
- アーベル圏 = 加群の圏と同じ性質を持つ圏
- 対象：アーベル群のような構造（加法、ゼロ、商が定義できる）
- 射：加法を保つ写像（ホモ群）
🔍 例：アーベル圏の代表例
| 圏 | 内容 |
|---|---|
| Ab | アーベル群の圏（典型例） |
| R-Mod | 任意の環 RR 上の左加群の圏 |
| Vectk | 体 kk 上のベクトル空間の圏 |
| 層の圏 Sh(X,Ab) | トポロジカル空間上のアーベル群値層の圏 |
| 導来圏 D(A) | アーベル圏 A\mathcal{A} から作る導来圏（chain complex） |
🧠 アーベル圏の意義
| 領域 | 意味 |
|---|---|
| ホモロジー代数 | 長完全列・導来関手（Ext, Tor）を定義する土台 |
| 層論 | 層係数のコホモロジーが定義できる |
| 代数幾何・表現論 | 代数幾何のコホモロジー理論（Grothendieck流）における圏論的枠組み |
| 導来圏・トライアンギュレート圏 | より高次の構造を導く基盤圏として用いる |
🔁 類似との比較
| 概念 | 包含関係 |
|---|---|
| アーベル圏 | ⊆ 加法圏（加法があるが核・余核はないかもしれない） |
| 加群圏 | ⊆ アーベル圏（特定の環に対する具体例） |
| トライアンギュレート圏 | アーベル圏から導来的に拡張（射の「三角関係」も記述） |
✳ 数式でまとめ
アーベル圏 A において、すべての射 f:A→B は以下の構造を持つ：
- 核 ker f→k→A
- 余核 B→q→coker f
- 像と余像（正準的に同型）： im(f)≅coim(f)
この像と余像が一致するのがアーベル圏の決定的特徴です。
🧩 まとめ
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 核心定義 | 核・余核が常に存在し、像 = 余像が成り立つ加法圏 |
| 哲学的意味 | 加群の性質を抽象的に定式化 |
| 重要性 | ホモロジー代数・導来圏の前提構造 |
| 応用 | 層、表現論、導来代数幾何、トポス、∞-圏論の基盤 |