General Theory of Natural Equivalences｜自然同値の一般理論

「General Theory of Natural Equivalences（自然同値の一般理論）」は、圏論という学問が正式に“誕生”した瞬間を示す歴史的な論文であり、**サミュエル・アイレンベルグ（Samuel Eilenberg）とサンダース・マックレーン（Saunders Mac Lane）**によって1945年に発表されました。

📘 概要：『General Theory of Natural Equivalences』（1945）

この論文によって、今日の**カテゴリー理論（Category Theory）**が確立されました。

🌱 目的：なぜこの理論が必要だったのか？

当時、代数的トポロジーや代数幾何の分野では、

• 様々な「空間」や「代数的構造」が登場
• それらを結ぶ「写像（構造を保つ関数）」が複雑化
• 同じような構造が何度も再定義されていた

そこで彼らは、「構造」と「構造の関係」を共通の言語（メタ理論）で記述する必要を感じました。

🏛 論文で定義された核心的3概念

1. Category（圏）

• 対象（object）と射（morphism）からなる集合
• 射の合成と恒等射が定義され、結合律・単位律を満たす

2. Functor（函手）

• 圏から別の圏への構造保存的な対応
• 対象・射の両方を保つ

F:C→Dsuch that F(g∘f)=F(g)∘F(f),F(id_X)=id_F(X)

3. Natural Transformation（自然変換）

• 2つの函手 F,G:C→Dの「比較構造」
• 各対象 X∈Cに対応する射 η_X:F(X)→G(X)が、 以下の自然性条件を満たす：

G(f)∘ηX=ηY∘F(f)for all f:X→Y

この「自然性」が、“構造に優しい”比較を意味します。

🔁 タイトルの意味：「自然同値の一般理論」とは？

• 「自然同値（natural equivalence）」とは、 函手 F と G が「自然変換によって双方向に変換可能」であること。
• 形式的には、自然変換 η:F⇒Gが**自然同型（自然変換でかつすべての η_X が同型）**であるとき：

F≃G(naturally equivalent)

つまり：

構造を保存しながら、”意味論的に同じ”であることの最も自然な形式

これにより、圏論は「構造を写し、比較し、分類するための普遍言語」としての地位を確立しました。

🔭 後世への影響

この論文は、以下のすべての理論の出発点となりました：

• ホモロジー・コホモロジー論
• トポス理論（Topos Theory）
• モデル圏（Model Categories）
• 高次圏論（∞-Categories）
• ホモトピー型理論（HoTT）
• Univalent Foundations

🧠 まとめ