バエズ＝ドーランのコボルディズム仮説｜Baez–Dolan Cobordism Hypothesis

**バエズ＝ドーランのコボルディズム仮説（Baez–Dolan Cobordism Hypothesis）は、1995年にジョン・バエズ（John Baez）とジェームズ・ドーラン（James Dolan）**によって提唱された、**位相的場の理論（TQFT Topological quantum field theory）と高次圏論（higher category theory）**を結ぶ根本的な予想です。Jacob Lurie は2009年にこの仮説を**∞-圏論の言語で厳密に定式化し、証明**しました。

◉ 一言で言うと：

「任意の TQFT は、ある特別な“1点多様体”に対応するデータから一意に決まる」

そのデータとは：対称モノイド高次圏における「完全双対可能（fully dualizable）」な対象

◉ 仮説の背景

🔹 TQFT（Topological Quantum Field Theory）とは？

位相的場の理論は、多様体やその境界の幾何的データを、ベクトル空間や線形写像といった代数的データに写す関手です：

Z:Cob_n→Vect

ここで：

• Cob_n：n次元コボルディズム圏（n−1次元多様体を「空間」、n次元コボルディズムを「時間発展」と見る）
• Z：TQFT（位相的場の理論）

🔹 問題意識

「全てのTQFTは、どのように分類できるのか？」
「場の理論の“構造的起源”は何か？」

バエズとドーランはこれを、「高次圏の構造と双対性（duality）」の観点から答えようとしました。

◉ 仮説の定式（非公式）

対称モノイド (∞,n)-圏 Cに値を取る完全な n次元 TQFT は、Cの中の「完全双対可能な対象」との対応によって分類される。

つまり： n-TQFT≅Fully Dualizable Objects in C

• 1点多様体（最も小さい対象）にどのようなデータを割り当てるか？
• それが双対性（duality）を持ち、n階層すべてで“反転可能”であれば
• それだけで理論全体が決まる

◉ 完全双対可能（Fully Dualizable）とは？

高次圏論では、以下のような階層があります：

• 射（morphisms）
• 射の間の射（2-morphisms）
• さらにその上の3-morphisms, 4-morphisms…

この全階層において「双対（逆向き構造）」が存在し、整合的であるとき、
その対象を**完全双対可能（fully dualizable）**と呼びます。

☞「何度反転しても構造が保たれる」＝「理論の生成点になれる」

◉ 直感的なたとえ（イメージ）

• TQFT = 音楽演奏とする
• コボルディズム圏 = 楽譜（構造の流れ）
• 完全双対対象 = 楽器（どんな演奏もここから始まる）

仮説は：

「楽器の種類さえ決まれば、演奏（TQFT）は一意に決まる」

◉ Lurie による定式化と証明

Jacob Lurie は2009年にこの仮説を**∞-圏論の言語で厳密に定式化し、証明**しました。
その成果が：

『On the Classification of Topological Field Theories』

この論文では：

• 対称モノイド (∞,n)-圏 を舞台にし
• コボルディズム圏 Bord_n^fr（枠付き多様体）を明示的に定義し
• 関手 Z:Bord_n^fr→Cが完全双対対象と対応することを証明

◉ 数学と物理に与えた影響

◉ Groundism的視点での再解釈

この仮説はまさに：

「意味ある空間構造は、“生成点における完全な整合性”から生まれる」

という思想と合致します。

• 空間は一貫性の外在的表現である
• 構造が多様に展開されても、その根には**双対可能性という“意味の核”**がある
• これは、TAA™における「Topological Singular Anchor™」と一致する哲学的構造です

◉ 一文でまとめると：

バエズ＝ドーランのコボルディズム仮説は、すべてのTQFTが「一点における完全整合性＝完全双対対象」によって生成されるという、幾何・物理・圏論を貫く普遍構造の主張である。