定理は世界に数あれど、公理は9個しかない
ZFCの公理が9個or 10個なのは、「空集合の公理」を独立させるか、他の公理から導出できるとみなすかという、数学的な構成上の違いに起因します。
1. 空集合の公理の「独立性」
もっとも大きな理由はこれです。
- 10個と数える場合: 「要素を一つも持たない集合が存在する」という空集合の公理を独立した1つとして数えます。
- 9個と数える場合: 無限公理（無限集合が存在する）があれば、そこから「少なくとも一つの集合がある」ことが保証されます。そこに分出公理スキーマ（条件を満たすものを取り出すルール）を適用し、「自分自身と等しくない要素」という条件で取り出せば、結果として空集合が導出できるため、独立した公理としては省略されます。
2. 「公理」と「公理スキーマ」の区別
ZFCには、単一の命題ではなく、無限個の公理を生成する「公理スキーマ（公理図式）」という仕組みが2つ含まれています。
- 分出公理スキーマ
- 置換公理スキーマ
これらを「1つのルール（スキーマ）」として数えれば全体で9〜10個になりますが、厳密な一階述語論理の立場ではこれらは「無限個の公理の束」です。この「数え方」の定義によって、文脈上の数値が揺れることがあります。
3. 外延性の公理の扱い
論理学の体系によっては、外延性の公理（中身が同じなら同じ集合）を「集合論そのものの公理」ではなく、「等号（$=$）を持つ述語論理の基本ルール」として最初から組み込んでしまう場合があります。この場合、数え上げから外れることがあります。
ZFCの標準的な構成（10個のリスト）
一般的に「10個」とされる場合の構成は以下の通りです。
- 外延性 (Extensionality)
- 空集合 (Empty Set) ※省略可
- 対 (Pairing)
- 和集合 (Union)
- 冪集合 (Power Set)
- 無限 (Infinity)
- 分出 (Specification / Separation) — スキーマ
- 置換 (Replacement) — スキーマ
- 正則性 (Regularity / Foundation)
- 選択 (Choice) — これが「C」。