Fast-Growing Hierarchy｜高速成長階層
✅ Fast-Growing Hierarchy（高速成長階層）とは？
一言でいえば、
「どれだけ速く成長するかによって階層化された関数群」
です。
普通の関数（たとえば足し算、掛け算、累乗）よりも、
桁違いに速く巨大化する関数たちを、秩序だてて並べたもの
それがFast-Growing Hierarchy（FGH）です。
✅ 背景
- 数学（特に計算理論や論理学）では、
どれだけ成長が早いかを正確に比較したい場面があります。 - しかし、普通の指数関数や多項式関数では表現できない超爆発的成長が自然に登場する（例：証明論、計算量理論、集合論など）。
➡︎ そこで、成長速度ごとに関数を階層化する体系が必要になりました。
✅ 概念図解
| レベル（階層） | 対応する関数 | 具体例 | 説明 |
|---|---|---|---|
| 0階層 | 定数関数 | f0(n)=n+1f_0(n) = n+1 | ちょっとずつ増える |
| 1階層 | 線形関数 | f1(n)== 2n | 2倍程度で増える |
| 2階層 | 指数関数 | f2(n)= 2^n | 2のn乗で増える |
| 3階層 | 超指数関数 | f3(n)=2^2^n | n回累乗を繰り返す |
| 4階層 | テトレーション関数 | f4(n)=n↑↑↑n | tetrationの繰り返し |
| 5階層 | ペンテーション関数 | n↑↑↑n | Pentation |
さらに、5階層、6階層、…とどんどん上に行くほど、爆発的に成長します。
- tetration（↑↑）は、Fast-Growing Hierarchyの比較的下位のレベルに位置するものです。
- グラハム数（g₁〜g₆₄）は、このFast-Growing Hierarchyの極めて高階層レベルで登場する超巨大数です。
つまり、
- tetrationは fast-growing hierarchy の一部
- グラハム数は fast-growing hierarchy の上位にある
✅ まとめ
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 名前 | Fast-Growing Hierarchy（高速成長階層） |
| 内容 | 成長速度に応じた関数の階層システム Fast-Growing Hierarchyとは、「爆発的に巨大化する構造のための秩序ある階層」 |
| 意義 | 超巨大数、計算理論、証明論に不可欠 |
| 例 | 定数関数→線形→指数→超指数（tetration）→さらに上 |