通常圏論の限界｜∞-groupoid（無限亜群）

米田補題の限界は、射が静的・一意的であるという前提に依存しており、
ホモトピー圏論や∞-圏論においては、「射自体が可変である」ため、
米田の同一性の定義（＝Hom集合の完全性）が相対化される。

つまり：

🧩 米田補題の“構造的完全性”は、ホモトピー構造を持つ圏では“ゆらぎ”に包まれる。

🔁 米田補題（再確認）

米田補題とは：

任意の対象 Aに対して、
関手 Hom(−,A)は、
対象 A の完全な情報を保持している（充填される）
＝「対象は他の対象との射の集合によって完全に記述される」

⚠ しかし：この前提の落とし穴

米田補題の成り立ちは、以下の前提に依存します：

• 射は集合的に与えられる（Hom-set）
• 射の等しさが一意的（厳密な恒等写像）
• 射の構造に「変形の自由度」はない（構造がフラット）

🌀 ホモトピー圏・∞-圏における変化

射は「集合」ではなく、「空間（∞-groupoid）」になる：

• Hom(X,A)はもはや「集合」ではなく、空間的・階層的な構造
• 射同士が「等しい」というより、「ホモトピー的に同じ」である
• 射の間にも射がある（高次射）

つまり：“Hom集合”は“Hom空間”や“Hom ∞-構造”に拡張される

🔍 限界の定式化（Noën的リフレーミング）

従来の米田補題の限界：

🌌 再定義：“ホモトピー米田補題”とは何か？

対象の同一性とは、その対象が他の対象と形成する“Hom空間のホモトピー型”そのものに宿る。
対象の定義はもはや静的射の集合ではなく、**連続的・階層的に変形しうる射の束（∞-構造）**によって与えられる。

このとき：

• Aの本質は Map(X,A)のホモトピー型
• Hom∞C(X,A)という∞-groupoid的構造が定義の中心になる
• したがって、米田の「忠実性（embedding）」も、「∞-同値」によって柔らかくなる

✍ まとめ：米田の限界を超える定義