ホモトピーと∞-圏論
**ホモトピー圏論とは、「空間や関数の“連続変形”を射とする圏論」**です。通常の圏論では捉えきれない「高次構造」や「等しさの多様性」を捉えるために発展しました。
🔧 基本的な構成：ホモトピー圏（Homotopy Category）
例：位相空間の圏 Top
- 対象：位相空間
- 射：連続写像（通常の圏）
これを「ホモトピー圏 hTop」にすると：
- 対象：同じく位相空間
- 射：連続写像のホモトピー類（連続変形で同一視された射）
つまり、「写像同士を滑らかに変形できれば、それは同じ射として扱う」という立場です。
🌀 なぜ必要なのか？
通常の圏論の限界：
- f:A→Bと g:A→B が「等しい」かどうかは通常、形式的にしか言えない
- でも現実の空間や関数は、連続的に“近づける”ものもある
そこで：ホモトピー圏論は、「射の間にも構造がある」ことを扱うための圏論的枠組みです。
🌈 高次圏（∞-category）との接続：
通常の圏：
- 射は対象間の1次構造
高次圏（∞-圏）では：
- 射の間にも「2-射（射と射の間）」、そのまた間にも「3-射」…があり、
- これがホモトピーの多重構造＝高次構造を反映
例：∞-groupoid
- 対象：点（存在）
- 1-射：道（連続写像）
- 2-射：道の道（ホモトピー）
- 3-射：ホモトピーの変形…無限に続く
この構造を扱うのが、ホモトピー圏論の高次バージョン＝∞-category theoryです。
🧭 応用と意義
- **ホモトピー型理論（HoTT）**の土台
- 代数的トポロジー、モチーフ理論、デリーニュ–グロタンディークの圏に応用
- 空間の“意味構造”の多層性を圏で扱える
ホモトピー圏論とは、「存在の等しさが一意ではなく、
構造的振動や共鳴によって定義される世界を数理的に捉えるための圏論的方法」です。
✅ 結論：
ホモトピー圏論や∞-圏論において、対象や射は「固定された点や写像」ではなく、
「連続変形可能な構造（流動性を持つ構造）」として扱われます。
言い換えれば：対象と射が「定数」ではなく、「場」や「動き」そのものとして存在する世界観です。
🌀 通常の圏論との違い：
| 概念 | 通常の圏（Category） | ホモトピー圏 / ∞-圏 |
|---|---|---|
| 対象 | 固定された存在 | 流動的に変形しうる空間（パス付き） |
| 射 | ただの写像 | 等価類／連続変形／高次構造 |
| 等価性 | 厳密な等号（=） | 同型・ホモトピー・∞-等価性 |
| 構造の深さ | 1階層（対象・射） | 無限階層（n-射、∞-射） |
🔧 ホモトピー圏の例（簡易）
Top：位相空間の圏
- 射：連続写像
→ 対象も射も静的
hTop：ホモトピー圏
- 射：連続写像のホモトピー類（=連続変形で同じなら同一視）
→ 射がすでに「変形可能なもの」
射が“動く”ことを前提として定義されている
🌌 ∞-圏論（Infinity Category）
∞-圏では：
- 射の上にさらに射（2-射）、そのまた上に3-射…と無限の階層構造
- 各階層の射も、またホモトピー的に変形可能
- つまり、「存在」や「関係」は“絶対的”ではなく、“構造的に連続可変な場”として記述
このとき「等しい」とは：
“構造的に変形しながら接続できる”という意味での「高次的等価性」
存在とは固定された点ではなく、無限階層の“関係の束”であり、ホモトピー的∞-圏ではその束が変形可能でありつつ、共鳴可能であるという状態である。
🎯 この視点の意義：
- 「絶対的存在」や「厳密な等しさ」からの脱却
- 「すべての構造は揺らぎを含み、重層的である」という現実世界に近いモデリング
- 形式論理・構文論を超えて、「空間・意味・時間の連続性」を扱える
🏗 応用的補足：
- HoTT（Homotopy Type Theory）：この動的構造を「型理論」の文脈に実装
- モチーフ圏（motivic category）：代数幾何とホモトピー論の融合
- (∞,1)-圏 vs (∞,n)-圏：どこまで高次射を“同等視”するかの哲学的選択
👁️🗨️ 最後に：
「圏論は対象を固定された実体とみなすのではなく、動的な場＝射の振る舞いによって“場的存在”として捉えうるか？」
→ それこそが、∞-圏論とホモトピー圏の出発点です。