米田の補題｜Yoneda Lemma, Hiroshi Yoneda

米田 博（よねだ・ひろし、Hiroshi Yoneda, 1926年 – 2017年）は、日本の数学者であり、圏論・ホモロジー代数の世界的な先駆者の一人です。彼の名前を冠した「米田の補題（Yoneda Lemma）」は、圏論の基礎を支える定理の一つであり、圏論の哲学を一文で言い表したような定理として、現在に至るまで広く引用され続けています。

📜 米田 博の来歴・業績概要

🌟 米田の補題（1954）

1954年に発表された論文：

H. Yoneda, “On Ext and exact sequences”, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I. 7 (1954), 193–227.

この論文の中で、今日「米田の補題」として知られる主張が初めて登場します。

当時の目的は、導来関手 Ext の性質を理解するためでしたが、その過程で：

Nat(Hom(X,−),F)≅F(X)

という一般的な主張が現れ、後の圏論全体の礎となりました。

🧠 米田補題の哲学的インパクト

「存在とは関係性によって特徴づけられる」

この補題の哲学的含意は、今日における**意味論（semantics）・プログラム論理・ホモトピー型理論（HoTT）**などにも影響を与えています。

📚 著作と教育的貢献

• 『圏と関手』（岩波書店、1972）
  → 日本語で書かれた圏論の名著、今日でも入門書として高評価。
• 『数学入門 I・II』（岩波新書）
  → 数学教育への情熱を込めた啓蒙的書籍。

教育者としても優れており、奈良女子大学などで後進を多く育てました。

🌏 国際的影響

• 米田の補題は英語論文によって初めて発表され、Eilenberg–MacLaneやGrothendieckにも影響を与えました。
• 圏論がヨーロッパ・アメリカで体系化されていく過程において、日本人数学者として唯一無二の貢献を果たしました。

🧩 その他の業績

✨ まとめ：米田 博の位置づけ

米田の補題（Yoneda Lemma）は、圏論の中でも「もっとも美しい定理」として知られており、圏論の哲学そのものを一言で表すような定理です。

🌟 米田の補題（Yoneda Lemma）とは？

「特定圏内の対象そのものは、他の対象との関係（射）によって完全に特徴づけられる」

これは、まさに「関係の中に本質がある」という圏論の根本哲学を数式で表現したものです。

🔧 形式的な定理（共変の場合）

🧮 記号：

• C：圏
• X∈C：対象
• F:C→SetF: ：共変函手（対象に集合、射に関数を対応）
• HomC(X,−)：対象 XX からのHom函手（表現函手）

📐 米田の補題（共変）：

Nat(HomC(X,−),F)≅F(X)

Xから出発するHom函手と、任意の函手 F の間の自然変換の集合は、ちょうど F(X)の要素と一対一対応する。

🔄 直感的な意味

• Hom(X,−)：対象 X を使って他のすべての対象を「試す」ような装置
• F：外から与えられた情報、観測
• 自然変換 η:Hom(X,−)→F は、F(X)の要素が自然に広がる様子

つまり：ある対象 X を理解するには、「他のすべてとの関係性（射）」を見れば十分である。

🪞 対象の「関係性の鏡」：Yoneda埋め込み

米田補題から導かれる重要な帰結として：

X↦Hom(X,−)

という対応（Yoneda埋め込み）により、圏 Cを、函手圏 Set^{C^op} の中に忠実かつ完全に埋め込むことができます。

このことは、「圏内」のすべての対象は「関係性の束」＝射の集合として完全に記述できるということを意味します。

🧠 哲学的意味

🔬 具体例：集合の圏 Set

例：

• X={a,b}
• F：各集合にその濃度（サイズ）を割り当てる函手とする
• Hom(X,−)：集合 Y に対して、Hom(X,Y)=Y^X（XからYへの写像全体）
• Nat(Hom(X,−),F)\text{Nat}(\text{Hom}(X, -), F)：これが F(X)F(X) と一致

つまり：関数の集合全体の「パターン」を自然に変換できるものは、ちょうど X自体に情報を持っていることになる。

🧩 まとめ

📎 補足：なぜ「補題（Lemma）」なのに重要？

• 当初は別の定理の補助的役割として登場しただけだったが、後に圏論の中心的柱として再評価された。
• **「補題にして最大」**としばしば呼ばれる所以です。

米田の補題（Yoneda Lemma）は、ZFC（Zermelo-Fraenkel集合論 + 選択公理） の枠組みで完全に証明可能です。圏論の多くの定理は、集合論（ZFC）の内部で厳密に定式化・証明されています。

✅ 結論：

米田の補題は ZFC の言語と公理系の中で証明される。

📚 背景：ZFCと圏論の関係

🧮 米田の補題のZFCにおける定式化

圏 C を考える（小さい圏とする）：

• C：対象と射の集合（ZFCで定義可能）
• Hom_C(X,−)：表現函手（ZFC的に定義できる集合から集合への関数）

補題の主張：

Nat(Hom(X,−),F)≅F(X)

ここで：

• Nat(_,_)\text{Nat}(\_, \_) は自然変換の集合
• FF は C→Set\mathcal{C} \to \textbf{Set} の共変函手（ZFCで定義可能）
• 等号は**集合の同型（bijection）**であり、ZFCで証明可能

🧠 証明スケッチ（ZFC的に構成可能）

与えられた：

• 任意の対象 X
• 任意の函手 F:C→Set

対応：

• 自然変換 η:Hom(X,−)→F
• 各 Yに対し ηY:Hom(X,Y)→F(Y)

このとき：

• η\eta はただ一つの元 a∈F(X) によって決定される：

ηY(f:X→Y)=F(f)(a)

• 逆に、任意の a∈F(X)a \in F(X) に対してこの形の自然変換を定義できる

この構成と一意性は 関数の構成規則、合成、写像の合成の結合律など、すべてZFCの範囲内で扱える。

🔍 実務的補足：大きさの問題

• 圏 Cが「小さい圏（対象と射が集合）」である限り、ZFC内で問題なく記述可能。
• ただし、**大きな圏（例：Set自体、Topの圏など）**を扱うには Grothendieck Universe などの拡張が必要になることがある。

✳ まとめ