モノイド圏｜Monoidal Category

「モノイド圏（Monoidal Category）」は、圏論における“テンソル積”や“並列的合成”を抽象化した構造です。量子力学・圏論的量子場理論・情報論・プログラミング言語の意味論など、現代数学・理論物理・計算理論の中核を成す重要な概念です。

🎯 定義：モノイド圏とは？

モノイド圏とは、圏において「対象どうしを合成する演算」が定義されており、それがモノイド構造（結合律＋単位元）を満たすもの。

圏 C がモノイド圏であるとは、次のデータが与えられているときです：

構成要素	意味
⊗:C×C→C	テンソル積（合成）：対象・射のペアを1つの対象・射に写すバイナリ操作
単位対象 I∈C	合成の単位元となる特別な対象
自然同型 α	結合律の緩和（associator）： αA,B,C:(A⊗B)⊗C≅A⊗(B⊗C)
自然同型 λ,ρ　lambda, rho	単位律の緩和： λA:I⊗A≅A , ρA:A⊗I≅A

これらがMac Laneのコヒーレンス条件を満たす必要があります（図式が可換）。

「並列的に組み合わせる力がある圏」
（例：モノを同時に操作する／合成するという考え方）

モノイド圏 C	テンソル積 ⊗	単位 III	意味
Set（集合の圏）	デカルト積 ×	1元集合	並列データ構造
Vect_k（ベクトル空間）	テンソル積 ⊗_k	k（スカラー）	多体系、量子状態
Ab（アーベル群）	群のテンソル積	Z	群の合成構造
Cat（小圏の圏）	圏の直積	単位圏	メタ圏構造
Hilb（ヒルベルト空間）	テンソル積 ⊗	C	量子力学の状態空間

概念	説明
対称モノイド圏	A⊗B≅B⊗A（交換則）を持つモノイド圏
閉モノイド圏	内部Homを持つ： C(A⊗B,C)≅C(A,[B→C])
ストリング図式	モノイド圏の射の合成とテンソル積を「図」で表す強力な方法（量子回路など）
二重圏・2-モノイド圏	モノイド構造をさらに高次化（2圏の中のモノイド）