Type Theory｜型理論
Type Theory（型理論）の来歴は、論理学・数学のパラドックスの回避から始まり、計算理論・プログラミング・現代幾何学へと展開します。
🧱 1. 起源：パラドックスの回避（20世紀初頭）
▫️ ラッセルの型理論（1903年）
- **バートランド・ラッセル（Bertrand Russell）**は、集合論におけるパラドックス（「自分自身を含まない集合の集合」）に悩み、
- その解決策として**型理論（Type Theory）**を提案： 「集合には階層があり、下位の型のものしか扱えない」
- 『Principia Mathematica』（1910–13年, ホワイトヘッドとの共著）で型理論を体系化。
▫️ 型理論の特徴（この時点）：
- 型付き変数による階層的世界観
- 自己言及を防ぐことで無矛盾性を確保
🧮 2. 論理・証明体系への拡張（1930–50年代）
▫️ アロンゾ・チャーチ：ラムダ計算と型
- 1930年代、**ラムダ計算（λ-calculus）**を提唱
- その後、型付きラムダ計算に発展：計算における「意味のある式」だけを扱えるように
▫️ チャーチ型理論（Church’s Simple Type Theory）
- 関数の型を明示し、より制御された計算体系を構築
- これは後の関数型言語の基礎となる
🧬 3. 構成的数学と依存型理論（1960–80年代）
▫️ ペール・マルティン＝レーフ（Per Martin-Löf）
- 1970年代に、**「依存型付き型理論（Dependent Type Theory）」**を開発
- 命題と証明を型と項として扱うことで、構成的証明＝プログラムとして捉え直す
型とは命題であり、項とはその証明である（Curry–Howard対応）
- この理論は、**証明支援システム（CoqやAgda）**の基礎にもなった
💻 4. プログラミング言語への応用（1980–2000年代）
▫️ ML, Haskell, Scala などの言語
- 型推論、型安全性、多相型（polymorphic types）、型クラスなどが理論的裏付けに
- 型によってバグを防ぐ・抽象化を導くという思想が広がる
▫️ Coq / Agda / Lean などの証明支援系
- プログラムと証明を統合した開発環境（プログラム＝証明）
🔭 5. 現代：ホモトピー型理論と幾何学的拡張（2010年代〜）
▫️ ウラジーミル・ヴォエヴォドスキー（Vladimir Voevodsky）
- 数学的証明の形式化を進めるなかで、型を位相空間として扱う新しい型理論へと発展
型 = 空間、証明 = 路（homotopy）
- これが Homotopy Type Theory（HoTT） として定式化
- Univalent Foundations Project により、ZFCに代わる数学の新しい基礎を目指す動きが本格化
🧭 時系列まとめ
| 年代 | 出来事 / 理論 | 主な人物 |
|---|---|---|
| 1903年 | ラッセルの型理論（パラドックス回避） | バートランド・ラッセル |
| 1930年代 | ラムダ計算と単純型理論 | アロンゾ・チャーチ |
| 1970年代 | 依存型理論（構成的数学） | ペール・マルティン＝レーフ |
| 1980–90年代 | プログラミング言語への応用 | ML, Haskell など開発者たち |
| 2000–2010年代 | 証明支援系の普及 | Coq, Agda, Lean 等 |
| 2010年代〜 | ホモトピー型理論（HoTT） | ヴォエヴォドスキーほか |
🔑 型理論の来歴が意味すること
- 初期は矛盾の排除
- 中期は構成と計算の統一
- 現代は空間と意味の再構成
Groundism™的観点で見ると、型理論は構造主義・直観主義・形式主義の融合点にあり、「意味を持つ空間の構成方法」をめぐる深い探究の一部とも捉えられます。
🔹1. 数学的基礎論としての型理論
型理論は集合論（Set Theory）に代わる数学の基礎体系として研究されています。
とくに**構成的数学（constructive mathematics）**において重要です。
- 型（type） は「ある種の対象の分類」。例えば、「自然数の型」や「実数の型」など。
- 項（term） は型に属する具体的な値。たとえば、3 は「自然数型」の項。
型理論では、命題（proposition）と証明（proof）を型と項として扱い、以下のような対応があります：
| 数学的意味 | 型理論的意味 |
|---|---|
| 命題 | 型（type） |
| 証明 | 項（term） |
| 証明がある | その型に属する項がある |
この考えは Curry–Howard対応（同型） と呼ばれ、「論理＝型、証明＝計算」とするものです。
🔹2. プログラミング言語理論としての型理論
型理論は多くの**関数型言語（Haskell, OCaml, Scala など）や証明支援系（Coq, Agda）**の基礎です。
- 安全なプログラムを書くための手段（型安全性）
- 関数の型：
Int -> Intは「整数を受け取り整数を返す関数」の型 - 型検査：プログラムが定義された型に従っているかを検証する
型を持つことで、バグの発見、自己文書化、コード補完、最適化など多くの恩恵があります。
🔹3. ホモトピー型理論（Homotopy Type Theory: HoTT）
型理論は21世紀に入って新たな展開を見せており、空間や同変性（homotopy）と型を結びつける試みが現れました。
- 型＝空間、等しい項＝同変的につながった点と見なす
- 数学的構造と計算をより深く接続する理論
- ウラジーミル・ヴォエヴォドスキーらが提唱
この理論は Category Theory（圏論） や Topos Theory（トポス理論）、高次論理とも関係が深いです。
🔸型理論の分類（例）
| 名称 | 特徴 |
|---|---|
| 単純型付きラムダ計算 | 最も基本的な型理論 |
| 多相型理論（System Fなど） | 型にパラメータを持てる、汎用性がある |
| 依存型理論（Dependent Types） | 型が値に依存する（例：長さnのベクトル型） |
| ホモトピー型理論（HoTT） | 型と位相空間を統合した新しい理論 |
✅まとめ
- Type Theory は「値に型を与えること」で計算・証明・数学構造を体系化する理論
- 証明とプログラムを統一的に扱えることが最大の特徴（Curry–Howard対応）
- 21世紀には「型＝空間」という幾何学的な解釈（HoTT）へと発展