L’œuvre d’Alexandre Grothendieck｜アレクサンドル・グロタンディークの業績

「グロタンディークの業績は幾何、代数、解析的概念による圏論の拡張である」もう少し厳密に言えば、幾何・代数・解析を統合しうる“共通言語”として圏論を用い、それを限界まで拡張した、というのがグロタンディークの本質的な業績です。その思想は観測主義（Observationalism）や真理（Truth）にあるのではなく、Structuralism, Formalism, Constructivismの整合性（コホモロジー）にあるとした。

ピエール・ドリーヌ（Pierre Deligne）による講演「L’œuvre d’Alexandre Grothendieck」（アレクサンドル・グロタンディークの業績）では、ドリーヌはグロタンディークの数学的貢献を深い敬意と感銘をもって紹介しています。以下に、講演の主な内容と構成、そしてドリーヌがどのようにグロタンディークの業績を評価しているかをまとめます（※この講演は2005年頃にIMUの場などで行われたものが有名です）。

◉ 講演の全体構成

1. グロタンディークの精神と視点
2. スキームの理論
3. 層とトポス
4. モチーフと標準予想
5. 代数幾何と数論の融合（エタール・コホモロジー）
6. グロタンディークの方法論の一般性と抽象性
7. グロタンディーク以降への影響

◉ 主なポイントとドリーヌの解釈

1. グロタンディークの精神と数学観

ドリーヌは冒頭で、グロタンディークの仕事は「極端に一般的な定義」によって特別な場合を包含する力を持っており、「定義の純粋さ」と「構造の明晰さ」を追求する姿勢を強調します。数学において「構造」を重視するアプローチは、以後の代数幾何の全体に決定的影響を与えました。

2. スキーム理論の革新

Zariski位相の限界を乗り越えるために、**スキーム（schemes）**を導入。
これは古典的な多様体の枠を拡張し、特異点をもつ空間や数論的対象（スペクトルなど）を自然に扱えるようにしました。ドリーヌは、これが代数幾何の「新たな基盤」となったと述べます。

3. 層とトポス

層の理論（特にGrothendieck topology）の発展により、「位相空間」一般を越えた抽象的構造の記述が可能に。
トポス（topos）は論理や集合論の一般化として機能し、数学の全体を記述する“宇宙”のようなものとして捉えられます。ドリーヌはトポスを「グロタンディークのもっとも詩的なアイデアの一つ」と述べています。

4. エタール・コホモロジーと数論

エタール・コホモロジーは、ベッチ・コホモロジーの代数幾何的類似物であり、**ヴェイユ予想の解決（最終的にはドリーヌ自身によって）**において決定的な道具となりました。
ドリーヌはこの理論が「数論と幾何を結びつける架け橋」だったと強調します。

5. モチーフ理論と標準予想

グロタンディークは「モチーフ」という抽象的対象を定義しました。これは、さまざまなコホモロジー理論の共通の源（モチーフ＝動機）とみなされる概念であり、未だ完成には至っていないが、現代の代数幾何と数論の多くがその影響下にあります。
ドリーヌは、これを「最も遠大で、未解決のまま残されたグロタンディークの夢」と呼んでいます。

6. 方法論の革新性

グロタンディークのスタイルは、「定理を証明することよりも、定理が“自然に従う”ような構造をつくる」ことを重視していました。
ドリーヌはこれを「数学における構造主義の極致」と呼び、その一般性が多くの理論を包摂しうる土台となったと評価します。

7. 影響と後世への貢献

最後に、ドリーヌはグロタンディークの業績を「20世紀の数学における最も深い革新の一つ」と讃え、彼の影響が現在もLanglands Program、Homotopy Type Theory、∞-圏論などに及んでいると述べています。

◉ 総評（Deligneの視点）

「彼の業績はすでに“標準”となってしまったので、かえってその革新性を見落としがちである。」

ピエール・ドリーヌはこの講演を通じて、グロタンディークの視座は、単に“多くを証明した”のではなく、数学そのものの見方を変えたとまとめています。

◉ グロタンディークの業績を「圏論の拡張」と捉える観点

1. 幾何の圏論的再定式化（スキーム理論）

• **従来の多様体（Manifolds）**や代数的多様体は、座標環と対応づけられる有限次元的対象でした。
• グロタンディークは、代数幾何をスキーム（Schemes）という圏の対象として一般化。
• これにより、例えばスペクトル Spec(Z) のような数論的対象も「幾何学的な空間」として統一的に扱えるようになった。

☞ 幾何とは本質的に「層と対象の圏のふるまい」である、という認識を導入。

2. 代数と圏論（アーベル圏、導来圏）

• アーベル圏（Abelian category）の導入により、加法的・圏論的にホモロジー代数を再構築。
• Grothendieck–Verdierの導来圏構成（Derived category）は、**トライアンガル圏（triangulated category）**と呼ばれる解析構造を圏のレベルで与えるもの。

☞ 代数とは「射のふるまいとその導来的構造の層的ネットワーク」と捉え直される。

3. 解析（コホモロジー）の圏論化

• エタール・コホモロジー、クリスタリン・コホモロジーなど、さまざまなコホモロジー理論を構成可能な共通のフレームワークを圏論的に構築。
• **モチーフ（motif）**の導入によって、「コホモロジー理論の普遍対象」という抽象的枠組みが提案された。

☞ 解析的な情報（数論的L関数、ゼータ関数など）も、圏論的な背景から再定式化可能となった。

4. トポス理論：圏論の極限的拡張

• Grothendieck topology（グロタンディーク的位相）を導入し、**トポス（topos）**という対象を定義。
• これは、集合論的宇宙の一般化であり、数理論理・集合論・位相空間・層の理論が圏として融合されたもの。

☞ トポスは、「空間」の概念を圏論的な宇宙として再定義した極限的成果。

5. 方法論的総括：圏論を基底構造にするという思想

• グロタンディークは、「定理の証明」よりも「定理が自然に従う構造を発見すること」に価値を見出した。
• そのためには、「対象」よりも「対象間の射（morphisms）」、さらには「射の間の射（2射）」を重視し、現在の高次圏論（∞-category）やHoTTにも通じる思想を先取りしていた。

◉ まとめ：グロタンディークの業績とは何か（定式化）

グロタンディークの業績とは、幾何・代数・解析を統一し、すべての数学的現象を“圏”という言語で記述可能とするための基礎構造の構築である。

• 圏（category）
• 層（sheaf）
• スキーム（scheme）
• トポス（topos）
• モチーフ（motive）
• 派生圏（derived category）

これらはすべて、局所から大域へとつなぐための圏論的構造であり、グロタンディークの枠組みでは「宇宙そのものが圏である」とさえ言えるでしょう。

ピエール・ドリーヌ（Pierre Deligne）による講演「L’œuvre d’Alexandre Grothendieck」の動画が公開されています。​この講演は1996年、ニースで開催されたジャン・ディウドネ（Jean Dieudonné）を讃えるコロキウムで行われたもので、​グロタンディークの数学的業績についてドリーヌが詳細に解説しています。​講演はフランス語で行われ、英語字幕が付いています。

この動画は、フランス国立科学研究センター（CNRS）と高等科学研究所（IHES）の協力により、グロタンディークの没後10周年を記念して公開されたものです。​講演の中でドリーヌは、グロタンディークの革新的な数学的概念や理論、特にスキーム理論やトポス理論、モチーフ理論などについて詳しく述べています。

◉ コホモロジーとは

「構造の“見えないつながり”や“整合性の失敗”を代数的に測定する装置」

コホモロジー（Cohomology）とは、もともとトポロジー（位相幾何学）において空間の「形」や「構造」を抽象的・代数的に記述するための道具として登場した概念ですが、現代数学では非常に広範な意味と応用を持っています。

◉ 概念の本質的構造

コホモロジーは以下のような一般的な枠組みで定義されます：

1. **対象（空間、群、スキームなど）**に対して
2. ある種の**代数的データ（層、加群、鎖複体など）**を割り当て
3. その中で整合しない部分・境界・ズレを
4. アーベル群やベクトル空間として抽出する

その結果得られるものが：

• コホモロジー群 Hⁱ(X,F)（iは次数）

◉ 直感的なイメージ（トポロジーの場合）

たとえば：

これは、「空間の中に存在する“閉じているが境界を持たないもの”の個数」として解釈されます。

☞ 「境界が0になるが、何かの境界として書けないもの」を数える＝“ズレ”の構造の測定

◉ なぜ「ズレ」や「整合性の失敗」が重要か？

グロタンディーク的観点では：

• 数学は局所的に定義された構造が、グローバルにどう矛盾するかを測定することに価値がある。
• コホモロジーは、「すべてを一貫して貼り合わせられるか？」という問いに“失敗の度合い”を返す装置。
• それは、真理よりも整合性（coherence）を優先するという立場を支える形式でもある。

◉ 分野ごとのコホモロジーの例

◉ グロタンディークの言葉で言うと…

「コホモロジーとは、世界の構造が“どこまで貼り合わされるか”を測るための、抽象的な眼である」

コホモロジーはトポロジー・トポス・ホモロジーと深く関係し、似た構造的役割を果たす概念です。ただし、それぞれの焦点と立場は微妙に異なります。以下に、それぞれの概念の違いと、コホモロジーとの関係を整理してご説明します。

◉ 1. トポロジー（Topology）とコホモロジーの関係

☞ コホモロジーはトポロジーの情報を抽象化し分類する道具。

◉ 2. ホモロジー（Homology）とコホモロジー（Cohomology）の違い

☞ 二者は双対関係にあり、特にポアンカレ双対性やセール双対などの形で現れます。

◉ 3. トポス（Topos）とコホモロジーの関係

トポスは、「空間らしさ」を圏として抽象化したものであり、コホモロジーはそのトポスに存在する層のグローバル整合性の測定に使われます。

☞ コホモロジーは、トポスの中での“物語の展開可能性”を測る代数的ツールと捉えることもできます。

◉ 構造的に整理すると

◉ グロタンディークの視点から見ると

「コホモロジーは、トポスという宇宙の中で、ホモロジー的構造の“整合性”を測る代数的眼である。」

• トポロジー：地図
• トポス：地図のための宇宙
• ホモロジー：道・穴の「実体」
• コホモロジー：その「整合性」を測る

☞ これらはすべて**「空間」や「構造」をどう捉えるかという思想の系譜**に属します。