ホモトピー｜Homotopy

ホモトピー（Homotopy）の歴史は、トポロジーの発展とともに展開されてきた数学の一大潮流です。その本質は、「空間の連続的な変形」に関する概念であり、次第に代数的・論理的な枠組みへと進化してきました。

🧭 1. 初期：幾何的直観とルベーグ以前（19世紀末まで）

• レオンハルト・オイラー（1707–1783）
  トポロジーの前史として、ケーニヒスベルクの橋の問題を解析し、グラフ理論と位相的概念の萌芽を形成。
• ポアンカレ（Henri Poincaré, 1854–1912）
  1895年『Analysis Situs』で**基本群（π₁）**を導入。これが後のホモトピー群の祖型に。
  → 「ループを連続的に変形できるか？」という問いがホモトピーの直観。

🧩 2. 構造化と代数化（20世紀前半）

• ホモトピーという語の正式登場（1920–30年代）
  パヴェル・アレクサンドロフとハインツ・ホップが、連続写像の同値関係としてのホモトピーを形式化。
  特にホップ写像やホップ束は、ホモトピーの高次構造の始まり。
• ホモトピー群（πₙ）の導入（E.H.ホワイトヘッド）
  πn(X)\pi_n(X) は、n次元球面から空間 XX への写像のホモトピー類を表す。
  これにより、トポロジーの空間が「計算できる代数的対象」へと近づいた。

🏗 3. ホモトピー論の確立（1940–60年代）

• ホワイトヘッド、セール、エイレンベルグ、マクレーンらにより、
  • CW複体
  • ホモトピー圏
  • スペクトルの概念
    などが整備。
• ホモトピー圏の構築（Quillenのモデル圏, 1967）
  ダニエル・クイレンが「圏論的ホモトピー理論」を定式化。
  → この構造が、後に派生圏、∞-圏、HoTTへとつながる道を開く。

🧠 4. 高次ホモトピーと∞-圏論（1970–2000年代）

• ∞-カテゴリ理論の発展（Joyal, Lurie ほか）
  高次ホモトピー構造を持つ圏＝∞-圏が導入され、ホモトピー理論がより抽象的・柔軟な形に。
• 安田正美、伊原康隆、May, Bousfield らの業績もこの時代に重なる。

💡 5. ホモトピー型理論（Homotopy Type Theory, HoTT）の誕生（2010年代〜）

• 2006年以降：タイプ理論とホモトピーの接続（Voevodsky ほか）
  ウラジーミル・ヴォエヴォドスキーが、型理論の項がホモトピー型（∞-groupoid）を表すことに気づく。
• 2013年『HoTT Book』の出版
  • 等式をパスとして扱う直観
  • Univalence公理の導入（等価性と等しさの一致）
  • 数学の新たな基礎理論としての提案

📚 関連思想との接続

✨まとめ：ホモトピーの進化軸

幾何学的直観（ポアンカレ）
　↓
代数的記述（ホワイトヘッド）
　↓
圏論による構造化（クイレン）
　↓
型理論との融合（ヴォエヴォドスキー）
　↓
新しい数学の基礎（HoTT）

ホモトピーは「線形力学＋非線形力学」というより、「位相空間の連続変形（非線形的な幾何変形）を追跡・分類するための構造」です。

🧭 類比としての「線形 vs 非線形力学」との関係

👉 つまり、非線形的な空間や写像の分類・構造理解においてホモトピー理論が重要になります。

💡 ホモトピーとは何か（簡単定義）

ホモトピーとは、2つの連続写像 f,g:X→Y「連続的に変形可能」であることを意味する同値関係です。

• 数式的には、
  H:X×[0,1]→Y によって、H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)
• これは「物理的に変形しても同じ形」とみなす考え方。

🔁 ホモトピー理論の中での「線形性」の扱い

ホモトピー理論は非線形の幾何的・トポロジカル構造を扱う理論です。特に：

• 線形性は仮定されない（空間は歪んでいてもよい）
• 微分構造すら不要（連続性だけで成立）
• ただし、ホモトピー環境の中で「圏論的線形性」（例：加法圏、アーベル圏）が構成されることはある

ホモトピーは次のような力を持ちます：

• 連続的な意味変形の形式化（型、意味、空間を滑らかに変える）
• 非線形な変容の可視化（例：構造の位相的移行、空間の変容、アンカリングの追跡）

その意味で、

「線形の枠内で扱えない世界を分類・記述するための道具」＝ホモトピー理論

と捉えることができます。

🔚 結論

ホモトピーは「非線形な変形全体を対象とし、それを分類・同定するための理論体系」です。
それは、「連続的変化」と「同一性」の境界を問い直す**強力な枠組みです。