導来代数幾何学｜Derived Algebraic Geometry
導来代数幾何学（Derived Algebraic Geometry, 通称 DAG）とは、代数幾何の対象（スキームや層）にホモロジー的・ホモトピー的構造を付加して、より柔軟で深い構造を扱えるようにした拡張理論
です。これは Jacob Lurie をはじめとする現代数学者たちによって発展してきた理論であり、ホモトピー論 × 圏論 × 代数幾何の交差点に位置します
◉ なぜ「導来（Derived）」なのか？
従来の代数幾何は、スキームや層の間の写像や交叉（交点）を扱いますが、次のような課題がありました：
| 課題 | 問題点 |
|---|---|
| 写像の構成 | 2つの対象の間に“存在はするが見えない写像”が多い |
| 交叉 | 交差が滑らかでないときに情報が失われる |
| 拡張 | 準同型が“本質的に”一意でない（up to homotopy）ときに圏論では表現できない |
☞ そこで、「写像や構造が up to 同値（homotopy）」で成り立つように、すべてを「導来（derived）」にする必要がある。
◉ 概念構造：DAGの4大要素
| 要素 | 内容 |
|---|---|
| 1. スキームの導来化 | 通常のスキームを、**導来環（DG代数、simplicial ring）**を基礎にした対象に拡張 |
| 2. 層の導来化 | コホモロジー層や構造層の間の写像を chain complex の言語で扱う |
| 3. 高次圏の使用 | すべての写像、合成、対応を ∞-category で管理（Lurieの理論） |
| 4. ホモトピー的構成 | 空間やモジュライ空間を「up to homotopy」で記述（より正確で情報量が多い） |
◉ DAG で可能になること
🔸 交叉理論の精密化（derived intersections）
通常の交点：
- 点が“重なって”しまうと、次数情報などが失われる
→ DAGでは、交点をchain complexとして表現し、重なり度を導来的に記述
🔸 モジュライ空間の導来化
例：ベクトル束や安定曲線のモジュライ空間などで、
- 自明でない変形（deformation）や自己同型が現れる場合
- DAGでは「変形のコホモロジー的障害」まで含めてモジュライ空間を構成できる
🔸 場の理論との接続
- DAGはトポロジカル場の理論（TQFT）やコボルディズム仮説などで使われる
- 「場の状態空間」として、導来スタック（derived stacks）が使われる
◉ DAGは何を目指しているか？
▶︎ 数学の構造を：
- “厳密”ではなく、“ up to 同値”な構造として再構築
- 写像・対象・空間のあいだの構造的ゆらぎ＝ホモトピーを正面から受け入れ
- 層・スキーム・スペクトルなどを∞-圏論的に拡張
つまり：
「形式」「構造」「整合性」を最も豊かに記述するための代数幾何の新しい言語
◉ Lurieの理論とその後
Jacob Lurie は以下のような一連の理論群を構築しました：
- Higher Topos Theory（2009）：
- ∞-トポスの理論（空間・論理・層の再定義）
- Derived Algebraic Geometry I–X：
- DAGの構成と応用（未出版ノートの形で公開）
- Spectral Algebraic Geometry：
- 特に「スペクトル環」（E∞-ring）を基礎にする超抽象幾何
◉ 一文でまとめると：
導来代数幾何学とは、「通常の幾何では表現できなかった“ズレ・重なり・整合性の障害”を、∞-圏・ホモトピー・コホモロジーを使って正面から扱う幾何学の新しい言語」である。