BBD定理｜Beilinson–Bernstein–Deligne
ペルヴァス層の理論において中心的な役割を果たすのが、**BBD定理（Beilinson–Bernstein–Deligne定理）**です。これは層理論、特異点のある幾何、そして表現論やLanglandsプログラムに至るまで、広範な応用を持つ強力な構造定理です。
🔷 BBD定理（Beilinson–Bernstein–Deligne定理）とは
正式名称：
“Decomposition Theorem for Perverse Sheaves”（1982年）
執筆者：
- Alexander Beilinson
- Joseph Bernstein
- Pierre Deligne （+ O. Gabber が技術的補題を補強）
🔸 背景と動機
交差ホモロジーやペルヴァス層は、「特異点を持つ空間」における幾何構造を記述するための理論ですが、次のような問いに答える必要がありました：
🔹「特異空間に対する直像・直前像などの操作は、どれだけ“良い性質”を保っているのか？」
この問題に対する答えの一つが BBDの分解定理です。
🔸 BBD定理：
💡 主張（非形式的に）：
射影的・適当な条件下の代数幾何的写像 f:X→Y に対して、交差ホモロジー（IC層）などを使って定義される ペルヴァス層の直像は、**「直和に分解する」**という性質を持つ。
🔹 正確な主張（形式化）
次のような状況を考える：
- f:X→Yは適当な代数幾何的射（通常は proper map）。
- Fは X 上の半単純なペルヴァス層。
- その直像 Rf∗Fペルヴァス層の導来圏 Dpb(Y) において扱う。
すると、
📌 BBD定理（分解定理）：
Rf∗Fは、ペルヴァス層の 直和の有限個のシフト に分解できる：
ここで各 Piはペルヴァス層。
🧠 意義と直感的理解
これはとてつもなく強力な結果で、特異点があっても、ある種の幾何操作（像、合成、射影など）を施しても「すべてバラバラにきれいに分解できる」ことを意味します。つまり：
- 特異点の混乱を整理できる。
- 幾何的な構造が「可算な部品」に還元される。
- 直像（pushforward）や変換（Fourier–Mukai的）を解析可能にする。
🔸 BBD定理の応用
| 分野 | 内容 |
|---|---|
| 表現論 | Kazhdan–Lusztig予想の証明（ルジャンドル的） |
| 幾何Langlands対応 | モジュライ空間におけるD-加群との対応 |
| モチーフ理論 | 混合モチーフと重みフィルトレーション |
| ミラー対称性 | シンプレクティック幾何におけるFukaya圏との対応 |
| 数理物理 | 弦理論、BPS状態の分類、Brane構造 |
🧩 関連する概念
| 概念 | 解説 |
|---|---|
| IC層（Intersection Complex） | 特異空間における交差ホモロジーの層理論的表現。BBD定理の鍵。 |
| t-構造とアベリア圏 | 導来圏上にペルヴァス層の圏を定義する技法。BBD理論の枠組み。 |
| 半単純性（semisimplicity） | BBD定理では、ペルヴァス層が半単純（irreducibleに直和分解）であることが必要。 |
| Verdier双対 | ペルヴァス層の双対理論。BBD定理と整合性を持つ。 |
🧭 まとめ：なぜ重要か？
| 観点 | 内容 |
|---|---|
| 幾何学的操作 | 写像の直像や退化の構造を理解可能にする |
| 特異点 | 特異空間でも「良い構造（分解・双対）」を保証 |
| 圏論的統一 | トポロジー・代数幾何・表現論を一元的に記述 |
| Langlands・物理との橋渡し | 幾何Langlands、ミラー対称性への応用 |