Yang-Mills Theory｜ヤン＝ミルズ理論、ゲージ理論

by TANAAKK
in Equation, Physics
on 2025-03-24

定理：ヤン＝ミルズ理論（Yang-Mills Theory、ゲージ理論）

標準模型（Standard Model）の原点は本質的にヤン＝ミルズ理論（Yang–Mills theory）にあります。厳密にいえば、標準模型はヤン＝ミルズ理論に基づくゲージ理論であり、そこに**フェルミオン（物質粒子）とヒッグス場（質量生成機構）**が加わって構築されています。

🔧 標準模型の構成：すべてはヤン＝ミルズから

✅ 1. ヤン＝ミルズ理論（1954）

C. N. YangとRobert Millsが発表。
アーベル（U(1))である電磁気から、**非アーベル群（SU(N)）**への拡張：ゲージ場：\[\text{ゲージ場}：A_\mu \in \mathfrak{su}(N), \quad F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu – \partial_\nu A_\mu + [A_\mu, A_\nu]\]
**局所対称性（局所ゲージ不変性）**を保ちつつ、力の媒介粒子（ゲージボソン）を記述可能。

✅ 2. 標準模型のゲージ構造

標準模型のゲージ群：\[ YSU(3)_C \times SU(2)_L \times U(1)_Y\]
- SU(3)_C：量子色力学（QCD）→ グルーオン（gluons）
- SU(2)_L × U(1)_Y：電弱統一理論（Glashow–Weinberg–Salam）→ W, Z, 光子
すべてヤン＝ミルズ型ゲージ理論で書ける。

✅ 3. ヤン＝ミルズの上に載るフェルミオンとヒッグス

フェルミオン（電子・クォークなど）：
- 群の表現に従ってゲージ場と結合
ヒッグス場（スカラー場）：
- 自発的対称性の破れ（SSB）を起こし、ゲージボソンに質量を与える
- SU(2) × U(1) 対称性が破れ、電磁気U(1)だけが残る

🧩 ヤン＝ミルズの意味：標準模型を統一するトポロジカルな土台

ヤン＝ミルズ理論は、「力の場」の動的構造を幾何学的に記述する。
主束（principal bundle）と接続（connection）という微分幾何的枠組みにも接続：
- 場＝接続、ゲージ変換＝バンドルの構造変換
現代的には、ヤン＝ミルズ理論はトポロジー、微分幾何、表現論、ホモロジーなどの数学と密接に関係。

✴️ まとめ：標準模型の起源はヤン＝ミルズにある

構成要素	内容	ヤン＝ミルズとの関係
ゲージ対称性	SU(3), SU(2), U(1)	すべて非アーベルヤン＝ミルズ理論
力の媒介粒子	グルーオン、W, Z, 光子	ゲージ場（Aμ）
物質粒子	クォーク、レプトン	フェルミオン場
質量生成	ヒッグス機構	対称性の自発的破れ

歴史的重要性：
ヤン＝ミルズ理論は1954年に楊振寧（Chen Ning Yang）とロバート・ミルズ（Robert Mills）が提唱したゲージ対称性に基づく場の理論である。元々は強い相互作用を説明する目的で導入されたが、後に素粒子物理学の標準模型（Standard Model）の基礎理論として定着し、電磁相互作用、弱い相互作用、強い相互作用を統一的に記述する枠組みとなった。現代物理学における理論的基盤を形成し、物理学全般に多大な影響を及ぼした。

発表者：

楊振寧（Chen Ning Yang）
ロバート・ミルズ（Robert Mills）

生年月日：

楊振寧：1922年10月1日
ミルズ：1927年4月15日

出生地：

楊振寧：中国・安徽省合肥
ミルズ：アメリカ合衆国・ニュージャージー州エングルウッド

主な論文（業績）：
『アイソトピック・スピンの保存と一般化されたゲージ不変性』
（Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance, 1954年）

発表年：
1954年

発表場所（主な所属機関）：
アメリカ合衆国・ブルックヘブン国立研究所（Brookhaven National Laboratory）

受賞：
ヤン＝ミルズ理論自体はその後の多くのノーベル賞受賞業績の理論基盤となっているが、ミルズ自身はノーベル賞を受賞していない。
楊振寧はヤン＝ミルズ理論ではなく、1957年に別の業績（パリティ非保存）でノーベル物理学賞を受賞している。

代表的な公式（ヤン＝ミルズの場の方程式）：

\[{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^a F^{\mu\nu a}\]

ここで、

\[F_{\mu\nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a – \partial_\nu A_\mu^a + g f^{abc} A_\mu^b A_\nu^c\]

公式の説明：

L\mathcal：ラグランジアン密度
A_μa A_\mu^a：ゲージ場（ゲージポテンシャル）
F_μν^a F_{\mu\nu}^a：ヤン＝ミルズの場の強度（強度テンソル）
g：ゲージ結合定数
f^abc：ゲージ群の構造定数（リー群の構造を表す）
この理論は非可換なゲージ対称性（ゲージ群）を持ち、粒子間の相互作用をゲージ場の交換として記述する。標準模型においては、SU(2)×U(1)ゲージ群（電弱統一理論）やSU(3)ゲージ群（量子色力学）として現れる。

親交の深かった科学者（関連研究者）：

リチャード・ファインマン（Richard Feynman、場の量子論の研究）
ジュリアン・シュウィンガー（Julian Schwinger、場の量子論）
シェルドン・グラショウ（Sheldon Glashow、電弱理論の完成者）
スティーヴン・ワインバーグ（Steven Weinberg、電弱理論の完成者）
アブドゥス・サラム（Abdus Salam、電弱理論の完成者）

ヤン＝ミルズ理論は、20世紀後半以降の素粒子物理学と場の理論の基礎を築いた、現代物理学における最も重要な理論の一つである。

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