Tetration｜テトレーション
**Tetration（テトレーション）**とは、「繰り返し指数（反復累乗）」のことです。
これは、通常の四則演算や累乗をさらに上位階層へ進めた演算です。
✅ 1. 定義（tetrationとは何か）
Tetration（記号：↑↑）は、次のように定義されます：
\[^n a = \underbrace{a^{a^{a^{\cdots^{a}}}}}_{n\text{ 個の }a}\]つまり、
- \[^1 a = a\]
- \[^2 a = a^a\]
- \[^3 a = a^{a^a}\]
- \[^4 a = a^{a^{a^a}}\]
- …
このように「右結合」で累乗をn回繰り返す演算です。
✅ 2. 記号で書くと？
Donald Knuth の矢印記法では、こう書きます：
a↑↑n= na
なので、
- \[3 \uparrow\uparrow 2 = 3^3 = 27\]
- \[3 \uparrow\uparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7.6 \times 10^{12}\]
- \[3 \uparrow\uparrow 4 = 3^{3^{3^{3}}} \approx 3^{7.6 \times 10^{12}}\]
指数の高さが爆発的に増えます。
✅ 3. 算術階層の中での位置
tetrationは、四則演算の「階層構造」の中で見るとこうです：
| レベル | 演算 | 例 | 意味 |
|---|---|---|---|
| 0 | 加算 | a+a+⋯a + a + \cdots | 繰り返し加算 |
| 1 | 乗算 | a×ba \times b | 加算の繰り返し |
| 2 | 累乗 | a^b | 乗算の繰り返し |
| 3 | Tetration | ba or a↑↑b | 累乗の繰り返し |
| 4 | Pentation | a↑↑↑b | tetration の繰り返し |
| … | Hyperoperations | … | より高次の繰り返し構造 |
✅ 4. 数学的・哲学的意義
- Tetrationは、計算不能級の関数の入り口であり、
- 超巨大数（例：グラハム数）や、超階層的構造（例：fast-growing hierarchy）において使われます。
通常の時間・空間スケールでは捉えられない階層構造の数理表現
✅ 図でイメージ（3↑↑nの成長）
n 3↑↑nの値 説明
-- -------------------- -------------------------------
1 3 単なる3
2 3^3 = 27 普通の累乗
3 3^(3^3) = 3^27 ≈ 7.6兆
4 3^(3^(3^3)) ≈ 3^(7.6兆) → 途方もない数
5 3↑↑↑3 さらに巨大（tetrationの繰り返し）
✅ まとめ
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 名前 | Tetration（テトレーション） |
| 定義 | na = a^{a^{a^{…}}}（n回のaによる右結合累乗） |
| 記号 | a↑↑n（Knuth記法） |
| 位置 | 累乗のさらに上の階層演算（四則演算の次の次の次） |
| 用途 | 超巨大数の定義、階層理論、計算理論 |